由麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
麦克斯韦方程组：
\nabla \cdot \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho
\nabla \cdot \mathrm{B} = 0
\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial
\mathrm{B}}{\partial t}
\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} + \mu_0
\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}
其中，
- \mathrm{E} 表示电场强度；
- \mathrm{B} 表示磁场强度；
- \rho 表示电荷密度；
- \mathrm{J} 表示电流密度；
- \epsilon_0 表示真空介电常数；
- \mu_0 表示真空磁导率。

根据法拉第电磁感应定律，有
\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial
\mathrm{B}}{\partial t}
将其代入第四个式子中，得
\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} - \mu_0
\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}
对两个式子分别取旋度，得
\nabla \times (\nabla \times \mathrm{E}) = -
\frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \mathrm{B} \nabla \times (\nabla \times \mathrm{B}) = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})
根据矢量恒等式
\nabla \times (\nabla \times \mathrm{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathrm{A}) - \nabla^2 \mathrm{A}
得到
\nabla(\nabla \cdot \mathrm{E}) - \nabla^2 \mathrm{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) \nabla(\nabla \cdot \mathrm{B}) - \nabla^2 \mathrm{B} = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0
\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E}) 由于磁场无源，即 \nabla \cdot \mathrm{B} = 0，因此第二个式子可以简化为
\nabla^2 \mathrm{B} = - \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})
对第一个式子取散度，得
\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) 将第一个式子和上式代入第二个式子中，得到
\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} + \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times
\mathrm{J})
因为电荷守恒方程为 \nabla \cdot \mathrm{J} = -
\frac{\partial \rho}{\partial t}，所以上式可以进一步化简为\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} - \mu_0 \frac{\partial^2 \mathrm{J}}{\partial t^2} 这就是亥姆霍兹方程。