第四章光的衍射§ 4.1惠更斯—菲涅耳原理一．光的衍射现象波绕过障碍物继续传播，也称绕射。

二．次波光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。

次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。

新的波面即是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。

用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。

波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的，发出的次波也是不同的。

严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的。

三．次波的叠加——惠更斯—菲涅耳原理1．次波的相干叠加考察波前上任一面元上的一点Q ，即一个次波中心所发出的球面次波在场点P 处引起的复振幅微分元)(~P U d 。

)(~)(~0Q U P U d ∝，Q 点的复振幅，称为瞳函数；re P U d ikr ∝)(~，Q 点为点光源，发出球面次波；∑∝d P U d )(~，次波中心面元面积； ),()(~0θθF P U d ∝，0θ、θ分别是源点和场点相对于次波面元∑d 的方位角。

0θ：面元法线与SQ 连线间的夹角，θ：面元法线与QP 连线间的夹角，),(0θθF 称为倾斜因子。

上述各因素的合并表达式为∑=d reQ U KF P U d ikr)(~),()(~00θθ，K 为比例常数。

将波前上所有次波中心发出的次波在P 点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到P 点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P 点引起的振动。

这就是惠更斯—菲涅耳原理。

2．菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式如果取一个封闭的空间曲面∑，即一个封闭的波前，由于从光源发出的所有方向的波都将通过此波前，而且只通过此波前一次，所以光源在任一场点P 所引起的复振幅与该波前所发出的全部次波在该点所引起的复振幅等价。

由于波前是一连续分布的曲面，所有次波中心发出的次波在P 点的复振幅就是以下曲面积分⎰⎰∑∑=d r e F Q U K P U ikr ),()(~)(~00θθ，即⎰⎰∑'-+'-+'-'''-+-'+'-''=y d x d z z y y x x eF y x U K y x U z z y y x x i222)()()(200)()()(),(),(~),(~222λπθθ 此即为Fresnel（菲涅耳）衍射积分公式。

经过Kirchhoff （基尔霍夫，1882年）严格的数学论证，Fresnel 根据直观所建立的积分公式基本上是正确的。

需要修正的只是，波前可以为任意形状的封闭曲面，而且导出了几分公式中的比例常数和倾斜因子的表达式，其中λλπ2/i e iK -=-=，)cos (cos 21),(00θθθθ+=F 。

比例常数中的位相因子不为0，而是有一个2/π的位相超前，说明等效次波源的位相不等于波前上Q 点扰动的位相。

而倾斜因子的表达式说明向后倒退的波也对P 点的复振幅产生作用，只有在波前取为球面的情况下，00=θ，)cos 1(21),(0θθθ+=F ，此时πθ=，才有0),(0=θθF 。

经过Kirchhoff 修正的上述积分公式被称作Fresnel-Kirchhoff 衍射积分公式。

处理光的衍射问题，都可以归结为求解Fresnel-Kirchhoff 衍射积分公式。

当波场中有障碍物时，即衍射屏时，可以自然地将波前取在衍射屏的位置，此时封闭的空间曲面由三部分构成：衍射屏上的透光部分0∑，不透光的光屏部分1∑，以及在空间扩展的半个曲面2∑。

可以忽略0∑与1∑的相互影响，认为在透光部分的瞳函数)(~0Q U 取作自由传播时的数值，而不透光部分的瞳函数)(~0Q U 自然等于0。

相对于光的波长，衍射屏的不透光部分也是认为是无限大的，所以第三部分可以取一个半径无穷大的半球面，经过严格的数学证明，积分公式在该球面上的积分值等于0，不必考虑。

则在求解Fresnel-Kirchhoff 衍射积分公式时，只需要对衍射屏的光孔部分作积分就可以了，即将曲面积分的范围局限于光孔0∑即可。

这种做法，称作Kirchhoff 边界条件。

积分公式可以化为⎰⎰∑∑+-=)(~)cos (cos 2)(~00d r e Q U i P U ikr θθλ在特定的实验条件下，应用近轴条件和远场条件，积分公式可以得到简化，并给出和好的结果。

四．衍射的分类根据衍射障碍物（衍射屏）到光源和接收屏的距离分类。

距离有限的，或至少一个是有限的，为菲涅耳衍射。

此时在接收屏上的任一点，来自不同方向的波进行相干叠加。

距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费衍射。

此时相互平行的光在无穷远处相干叠加。

事实上，在衍射屏后置一凸透镜，相互平行的光会聚在透镜焦平面上的同一点，进行相干叠加。

§ 4.2菲涅耳衍射（圆孔、圆屏）一．衍射现象圆孔衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。

圆屏衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。

二．半波带法分析菲涅耳圆孔衍射菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式化为求和近似。

将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依此相差半个波长。

这些圆环带称为半波带。

在球面上，各次波波源初位相相等。

相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为半个波长，位相差为 ，位相相反，振动方向相反，相互抵消。

计算各个半波带的面积S k。

球冠面积)cos 1(222ϕππ-==R Rh S ，ϕϕπd R dS sin 22=)(2)(cos 0202r R R r r R R k+-++=ϕ，k k dr r R R r d )(sin 0+=ϕϕ，当2/λ=k dr 时，k S dS = λπ0r R R r S k k += ⎰⎰∑∑=d r e F Q U K P U ikr ),()(~)(~0θθ∑=k k ikr k r S e F Q U K )()~(θ∑+=)(0)(~πϕθn i k kk e F r SU K∑+=πϕθik k k k i e r S e U K )cos 1(21~0∑=--+=nk k k A 11)1)(cos 1(θ其中kk i r S e U K A 0~21ϕ=，则1)1)(cos 1(~--+=k k k A U 为第k 个半波带发出的次波在P 点的复振幅。

其振幅为)cos 1(k k A A +=，位相因子为1)1(--k 。

可见，相邻波带次波的位相相反，且k 越大的波带，振幅越小。

于是总的复振幅可表示为-++-++-+=-=∑=+554332111121()2121()2121(21~)1()(~A A A A A A A A U P U nk k k ])1([2111n n A A =-+=解释：波带数n 为奇数，亮点；n 为偶数，暗点。

自由传播，∞→n ，0→n A ，121)(A P A =，始终亮点。

圆屏，前n 个半波带被遮住，1121)(+∞+==∑n n A A P A ，总是亮点。

半波带方程02020202)2()2(r k k kr r k r r r k λλλλ≈+=-+=- （1）20020202202222)(h h r r k h h r r r h r r k k k --=---=+-=λρ （2）又22222)(h Rh h R R k -=--=ρRh 2≈ （3） 由（2），（3），202022h h r r r k ---22h Rh -=可得 λ)(2)(2000202r R kr r R r r h k +=+-=，又由（2）式，h r r k k 0022-≈λρ所以 λλλρ0002002r R Rkr r R r k r k k+=+-=)11(02Rr k +=λρ，k 的奇偶性由r 0决定。

该式称为半波带方程。

三．一般情形下的波带如果进一步将每个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P 点位相差为π/2，即第一个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相分别为π/4和3π/4；再将每一个进一步细分，第一个半波带中的四个波带的位相差为π/4，位相依此为π/16，5π/16，9π/16，13π/16，……。

可以将任何一个半波带进一步细分为n 个，得到更多的波带，相邻波带见光程差为λ/2n ，位相差为π/n 。

n 很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n 个小波矢组成的半圆。

如图所示。

四．波带片用半波带将波面分割，然后只让其中的基数（或偶数）半波带透光，即制成半波带。

透过半波带的光，在场点位相相同，振动方向相同，衍射后大大增强。

由于入射光是平面光，所以波带片可是做成平面型的。

一般情况下，可以认为前面几个半波带的倾斜因子相差不大，即满足近轴条件，所以他们发出的次波的振幅近似相等。

如果波带片共有20个半波带，则在P 点的复振幅为11953110)(~A A A A A P U ≈++++= ，P 点光强21100)(A P I =，而自由传播时1021)(~A P U =，光强21041)(A P I =，相差400倍。

可见波带片具有使光汇聚的作用。

可以将半波带方程写成如下形式f k r R k 11120==+ρλ，同透镜的公式。

λρk f k 2= 为焦距。

任一波带片，都只适用于一个波长。

焦距是固定的。

对平行光，波带片为平面的。

但除主焦点之外，还有许多次焦点。

平行光入射，∞=R 有021r k k λρ=，即在距离r 0处，半径为k ρ的带是第k 个半波带。

当波带片不变时，r 0改变，会引起k 的改变，即可划分的半波带数目改变。

r 0减小，到r 0/2时，k=2k ，偶数个半波带，暗点； r 0减小，到r 0/3时，k=3k ，其中两两相互抵消，只剩下1/3歌半波带，是亮点，为次焦点； r 0减小，到r 0/4时，k=4k ，暗点……有12,,5,3+='m ff f f ……，一系列次焦点。

§ 4.3Fraunhofer(夫琅和费)单缝衍射1衍射装置平行光入射，用凸透镜成象于像方焦平面。

相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。

即是平行光的相干叠加。

如果衍射孔径，即狭缝，是一条窄反射面，情况相同。

2 衍射强度分布1、振幅矢量方法 沿θ方向的次波会聚到透镜焦平面上的P 点，θ就是P 点对透镜中心的张角。

P 点相干叠加的情况取决于各个次波的位相差，或光程差。

A 、B 两点间的光程差为θsin a L =∆，在P 点的位相差为θλπϕsin 2a L k =∆=∆。