学科领域分组：版本号：000 所属领域编号:广东省普通高校青年创新人才项目申请书(自然科学)二〇一四年六月基本信息文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 项目组成员经费申请表（金额单位：万元）进度计划预期成果申请书正文一、立项依据项目的研究意义、国内外研究现状分析，附主要参考文献微分方程是刻画变量之间的内在联系，揭示研究对象内在规律的学科。
它广泛应用于物理学，生物学，化学，气象学，经济学和社会学等领域，并深入渗透到其它的数学分支。
1881年，Poincaré发表了著名的《微分方程定义的积分曲线》，开创了微分方程定性理论这一数学分支。
定性理论是平面微分方程的核心内容之一，其思想是在不依赖于求解的前提下研究轨线的动力学行为。
在微分方程定性理论中，极限环的个数和相互位置对我们研究平面微分系统大范围的轨线性态非常关键。
所谓极限环，是指平面微分系统的孤立闭轨线。
它每一侧邻近的轨线当自变量趋于正无穷或负无穷时无限缠绕地趋于这条闭轨线，极限环由此而得名。
最初，人们考虑的往往都是平面光滑微分系统：(1)其中，是关于的光滑函数。
关于平面光滑微分系统(1)极限环的研究，是一个既有趣而又十分困难的问题。
如著名的Hilbert第16问题及其弱化问题等都十分困难[1,2]。
对于平面光滑微分系统(1)，极限环主要通过下面三种分支产生。
第一种是在高阶细焦点邻域研究退化的奇点分支(Hopf bifurcation)。
其基本思想是通过计算焦点量, 从而得到由细焦点分支出的多重极限环，见刘一戎，李继彬专著[3]。
第二种是从中心的周期环域产生的闭轨分支(Poincarébifurcation)。
通过对中心的周期环域进行扰动，使其周期轨破裂，从而产生极限环。
关于此类分支的介绍可以参考专著C.Christopher, C.Li[4]。
第三种方法是从奇异闭轨线邻域产生的同宿分支(Homoclinic bifurcation)和异宿(Heteroclinic bifurcation)分支，见M.Han, P.Yu[5]。
近年来，随着对现实世界认识的日益深刻，学者们发现刻画现实物理现象的许多函数都是分段光滑的。
即整个物理过程被某些瞬时事件分割成若干部分，而在这些若干部分一般又是由不同的光滑函数来刻画。
例如，含有开关装置的电路在开关打开和开关闭合时一般对应不同的电路方程。
下面介绍如下类型的平面分段光滑微分系统：(2)其中为关于的光滑函数。
称为开关流形(switching manifold)，它将平面分成两部分：，。
注意到：若，则系统(2)为光滑微分系统。
根据系统(2)轨线的光滑程度，分段光滑微分系统(2)分为以下三种类型[6]：(I)分段光滑连续系统(Piecewise smooth continuous system, PWSC)：系统(2)的轨线和向量场都是连续的，但是Jacobian矩阵在开关流形上不连续。
因此存在函数，使得，显然，当时，有。
(II)Filippov系统：系统(2)的轨线连续，但是向量场不连续。
即当时，有。
对于Filippov系统，又可根据开关流形分为如下三种情形：(II.1)穿越区域(Crossing region)是的一个子集，在其上满足。
即系统(2)的轨线穿过，见图1(a)。
穿越区域又称为非滑动区域(No-sliding region)，在这种情形下，由于系统的轨线是连续的，并且系统(2)右端函数满足局部Lipschitz条件，从而系统的轨线存在并且唯一。
滑动区域(Sliding region)是的一个子集，在其上满足。
在这种情况下，轨线会发生所谓的滑动现象。
具体来说，滑动现象又可以分为以下两种：(II.2)若和成立，这种类型的滑动区域称为吸引区域(attracting region)。
这时，系统(2)的轨线向内指向，见图1(b)。
在吸引区域内，系统的轨线与相切。
在这种情形下，系统的解是唯一的。
(II.3)若和成立，这种类型的滑动区域称为排斥区域(repelling region)。
这时，系统(2)的轨线逃离，见图1(c)。
在排斥区域内，轨线可能在中停留一段时间，也有可能在任意时刻离开。
在这种情形下，系统的解不是唯一的。
图1(a) 图1(b) 图1(c)(III)碰撞系统(Impacting system)：系统(2)的轨线是不连续的。
一般来说，碰撞系统具有如下形式:其中是重置映射，分别为系统轨线与开关流形接触前后的位置。
注意到碰撞系统只在开关流形的一侧有定义。
经过一百多年的发展，关于光滑微分系统(1)的分支问题已经有了很多的研究。
而对于分段光滑微分系统(2)，由于系统的非光滑性，使得光滑微分系统中研究极限环稳定性和分支的方法都不再适用。
目前学者们主要是用“遇到一类——研究一类——解决一类”的办法进行讨论，所得到的理论结果一般情况下只是用于某一类型的分段光滑微分系统。
在文献[7]中,由于PWSC(类型I)和Filippov系统(类型II)的轨线都是连续的，下面我们考虑这两种类型的分段光滑微分系统。
分段光滑微分系统可以具有所有在光滑微分系统中可能发生的分支现象。
广义Hopf分支：类似于光滑微分系统的Hopf分支，通过计算广义焦点量或Lyapunov常数，可以得到分段光滑微分系统的广义Hopf分支。
B.Coll, A.Gasull, R.Prohens在[8]中研究了分段光滑微分系统退化奇点的Hopf分支。
Y.Zou, T.Kupper, , W.Zhang[10]研究了分段光滑线性微分系统的Hopf分支，他们研究了这些系统可能出现的极限环的个数。
有关分段光滑微分系统(2)的广义Hopf分支问题研究，还可以参考S.Huan, X.Yang[11], J.Yang, M.Han, W.Huang[12], X.Chen, Z.Du [13]以及T.Kupper, S.Moritz[14]。
闭轨分支：X.Liu, M.Han[15]考虑了分段光滑Hamiltonian系统在一般扰动下的分支问题。
他们利用Melnikov方法，得到了一阶Melnikov 函数在中心附近的展开式。
Z.Du, Y.Li, W.Zhang[16]研究了Filippov系统从中心分支出极限环的问题。
同宿分支：A.Calamai, M.Franca[17]利用Melnikov方法研究了分段光滑微分系统的同宿分支。
F.Liang, M.Han, X.Zhang[18]给出了分段光滑微分系统存在同宿轨的充分条件。
此外，L.Li, L.Huang [19]考虑了Filippov系统中Hopf分支和同宿分支共存现象。
除了上述三种常见分支方法，由于分段光滑微分系统(2)的不光滑性，学者们还发现了许多在光滑微分系统中不能出现的奇异分支现象，见M.di Bernardo等的综述文献[20]。
值得注意的是，Filippov系统中类型(II.2，II.3)还可以出现滑动分支，有关此类分支的介绍见 D.Pi, J.Yu, X.Zhang[21]和,平均法是研究极限环分支问题的一个主要工具。
其基本思想是用广义极坐标变换把闭曲线表示成幅角的周期函数, 从而平均函数的孤立零点对应微分系统的极限环。
平均法思想的起源最早可以追溯到Langrange 和Laplace时代, 他们在研究三体问题时就给出了平均法的直观判断。
1928年Fatou首次给出了平均法的具体表达形式[7]。
随后, , N.Krylo等对平均法在应用以及理论上的研究做出了十分重要的贡献[23]。
值得注意的是，经典的平均法要求方程右边函数是的，见, F.Verhuls专著[24]。
经过长期的发展, 平均法已经被推广到各种形式。
对于光滑微分系统，一阶平均法是非常经典的结果，最早出现在专著[24]中。
当一阶平均函数恒为零时，我们需要考虑其后继函数的高阶近似，即考虑高阶平均函数的零点个数。
B.Coll, A.Gasull, R.Prohens[25]研究了光滑微分系统的高阶平均法，并给出了五阶平均函数的具体表达式。
此外，文[26]中得到了任意阶平均函数的计算公式。
一般来说，对于光滑微分系统，利用高阶平均法，可能会得到更多极限环。
但是随着阶数越高，平均函数的计算也就越复杂，可参考S.Li, Y.Zhao[27]对于非光滑微分系统，2004年，A.Buica, J.Llibre[28]利用Brouwer 测度，减弱了经典平均法定理要求方程右端函数是的条件，将平均法推广到连续微分系统。
最近，, , [29]得到了开关流形属于非滑动区域时，分段光滑微分系统的一阶平均法定理。
随后，, M.Jeffrey, ，研究了分段光滑微分系统开关流形存在滑动区域时的极限环分支。
我们注意到：对于分段光滑微分系统，目前还没有论文将一阶平均法推广到高阶情形。
总之，分段光滑微分系统定性理论是为了认识和理解用光滑微分系统定性理论解决不了的实际问题而发展起来的。
因此，分段光滑微分系统的高阶平均法研究有着十分重要的学术价值和应用前景。
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