高中立体几何定理及性质
一、公理及其推论
文字语言
符号语言
公理 1 如果一条直线上的 两点在一个平面 内，那么这条直线 上所有的点都在这 个平面内。 我们说：直线在平 面内 或：平面经过直线
Al
Bl A
AB
B
l Pl
P
公理 2 如果两个平面有一 个公共点,那么它们 还有其他公共点,且 所有这些公共点的 集合是一条过这个 公共点的直线。 （那么它们有且只
l⊥m
l⊥n mn
=
B
l
⊥
m
n
a a
∥b ⊥
b
⊥
a b
⊥ ⊥
a
∥
b
（15）线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一 个平面,那么这条直线垂
l ⊥ a
l
⊥
a
l
直于这个平面内的所有
a
直线
（16）面面垂直的判定定 理 如果一个平面经过另一
AB AB
⊥
⊥
个平面的一条垂线，那么
这两个平面互相垂直。
ab = P 有且只有一个平面 ， 使a ,b
推论 3 经过两条平行直 线，有且只有一个 平面
a∥b 有且只有一个平面 ， 使a ,b
公理 4（平行公理） 平行于同一条直线 的两条直线平行
a b
∥ b
∥
c
a
∥
c
二、平行关系
文字语言 （1）公理 4 （平行 公理） 平行于同一条直线 的两条直线平行 （2）线面平行的判 定定理 如果平面外一条直 线和这个平面内的 一条直线平行，那 么这条直线和这个 平面平行。 （3）线面平行的性 质定理 如果一条直线和一 个平面平行，经过 这条直线的平面和 这个平面相交，那 么这条直线和交线 平行。 （4）面面平行的判 定定理 如果一个平面内有 两条相交直线都平 行于另一个平面,那 么这两个平面平行.
图像语言
（10）三垂线定理 在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜 线的射影垂直，那么它也
PA ⊥
PO a⊥
AO
=
O
a
⊥
PO
a
和这条斜线垂直
（11）三垂线定理的逆定 理 在平面内的一条直线,如 果和这个平面的一条斜 线垂直,那么它也和这条
PA ⊥
PO a ⊥ PO
=
O
a
⊥
AO
a
斜线的射影垂直.
线面垂直推面面 平行 面面平行推线线 平行 面面平行推线面 平行
作用
3
（12）线面垂直的判定定 理 如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线垂直 于这个平面。 （13）线面垂直的判定 如果两条平行线中的一 条垂直于一个平面，那么 另一条也垂直于这个平 面 （14）线面 垂直的性质 定理 如果两条直线同垂 直于一个平面,那么这两 条直线平行。
B
C
A 直线a
存在唯一的平面 ,
使得
A a
作用 ①用来验证直线 在平面内； ② 用来说明平 面是无限延展的 ③可以用来判定 点在平面内
① 用来证明两 个平面是相交关 系； ② 用来证明多 点共线。
可以用来确定一 个平面 用来证明多点共 面，多线共面
1
推论 2 经过两条相交直 线，有且只有一个 平面
OO OO
⊥ ⊥
∥
ห้องสมุดไป่ตู้
∥ = a a ∥ b = b
a
∥
a
∥
（8）面面平行的性 质 如果一条直线 垂直于两个平行平 面中的一个平面，
∥ l ⊥
l
⊥
那么它也垂直于另
一个平面。
（9）面面平行的性 质 平行于同一个平面
∥ ∥
∥
的两个平面平行。
三、垂直关系
文字语言
符号语言
符号语言
a b
∥ b
∥
c
a
∥
c
a∥b
a
a
∥
b
b∥ = b a ∥ b a
a∥
b∥ ab =
O
∥
a
b
图像语言
2
用来证明线线平 行
作用
线线平行推线面 平行
线面平行推线线 平行
线面平行推面面 平行
（5）面面平行的判 定 如果两个平面 垂直于同一条直 线，那么这两个平 面平行。 （6）面面平行的性 质定理 如果两个 平行平面同时和第 三个平面相交,那么 它们的交线平行。 （7）面 面 平 行 的 性质 如果两个平 面平行,那么其中一 个平面内的直线平 行于另一个平面。
符号语言
等角定理 如果一个角的两边 和另一个角的两边 分别平行，并且方向 相同，那么这两个角
AB ∥ A' B '
AC
∥
A'C
'
相等
BAC = B' A'C '
图像语言
C'
A'
C
A
' B'
作用 判定两个角相等 （或互补）的依 据
B
最小角定理 斜线和平面所成的 角，是这条斜线和这 个平面内的直线 所成的一切角中最 小的角，且有
（17）面面垂直的性质定 理 如果两个平面垂直，那么 在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另
⊥
= CD
AB ⊥ CD
AB
⊥
AB
一个平面。
线线垂直推线面 垂直
线线平行推线面 垂直
线面垂直推线线 垂直、平行
线面垂直推线线 垂直
线面垂直推面面 垂直
面面垂直推线面 垂直
4
5
其他定理
文字语言
P
P
l
=
l
有一条通过这个公
共点的公共直线）
公理 3
A, B,C不共线
经过不在同一条直
线上的三点，有且 A, B,C确定一个平面
只有一个平面 简单的说，不共线
C 直线AB
的三点，确定一个 平面
存在唯一的平面 ,
图像语言
推论 1 经过一条直线和这 条直线外的一点， 有且只有一个平面
A
使得
cos = cos1 cos2
（其中 ,1,2 如图 中所示）
6