全等三角形与角平分线-第四讲．第四讲全等三角形与角平分线一．【知识回顾】角平分线 2、1、全等三角形的性质与判定的性质与判定【讲解与练习】二．中，∠．如图，四边形ABCD1°，BAD=∠BCD=90的面积ABCDAB=AD，若四边形cm．为24cm，则AC长是2的．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC2，轴上，OA=10cm两边分别在x轴和y出发，O是线段OA上的动点，从点OC=6cm．FQ方向作匀速运动，点1cm/s的速度沿OA以、Q两点间的距离是O在线段AB上．已知A、）表示经过时，tF两点间距离的a倍．若用（a中有两FAQ、△、△CBQs间t（）时，△OCF）的所有可能情，t个三角形全等．请写出（a ．况2第页三个内角的平分线交于点3．如图，已知△ABC，若，连接DO，延长OBA到点D，使AD=AO的度数BCABD=BC，∠ABC=54°，则∠为°．4．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=24°，∠2=36°，则∠3=．5．如图，AC=DB，∠1=∠2，则△ABC≌ABC=，∠△．∠BCD在6．如图，点，AC于点F交，⊥上，DEAB于点EDF⊥BC°，则∠AFD=145．若∠BD=CF，BE=CD ．EDF=第3页图，已知五7．如中，边形ABCDE∠∠ABC=，则五边形+AB=CD=AE=BCDE=2°，AED=90 ABCDE．的面积为的正方形网络，在网格中画出58．如图，在5×全等，这样的格点F，使得△DEF与△ABC点个．三角最多可以画出、到三边ABO是△如图，9．OABC内一点，且°，若∠，BAC=70OF=OD=OECABC、的距离 BOC=∠．4第页分别的周长是12，OB、OC10．如图，△ABC，于D，且OD=3平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC ．则△ABC的面积是P°，，∠AOC=20．如图，OC平分∠AOB11，∠≠OEODOC上一点，PD=PE，为°．OPE=110°，则∠ODP=ABC12．如图，△、，两内角的平分线CD中，∠A=60°，AB＞AC）（1BOC交BC于F，交于点BEO，OF平分∠；平分∠BAC连AO，则AO∠BOC=120°；（2），OD=OE三点在同一直线上，（4）A（3）、O、F CE=BC）BD+．其中正确的结论是5（（填序号）．，∠AB=ACABC．如图1，已知△中，13中点，P的顶点是BCBAC=90°，直角∠EPF、的延长线于点AB、CAE分别交、两边PEPF F．第5页（1）求证：AE=CF；（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；（3）求证：∠FEA+∠PFC=45°；（4）求证：S﹣S=S．ABCPFCPBE△△△为等腰直．如图，△ACO14 角三角形．A，求点坐标；），（﹣）若（1C13 6第页（2）过A作AE⊥AC，若∠FEO=∠COE，求∠EOF的度数；（3）当△ACO绕点O旋转时，过C作CN ⊥y轴，M为AO的中点，∠MNO的大小是否发生变化？15．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连接DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC 的长．16．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAE，DA∥CE，AB=CB．（1）试判断BE与AC有何位置关系？并证明你的结论；（2）若∠DAC=25°，求∠AEB的度数．第7页平中，AD17．如图，在△ABC请利用线段之比可转化为面积之比的BAC，分∠．思路方法，求证：分AD°，，BE18．如图，△ABC中，∠C=60．求交于点P、，∠CBAAD、BE别平分∠CAB 证：°；（1）∠APB=120 在∠C 的平分线上；2（）点P+BD．AB=AE3（）第8页19．（1）如图1①，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠BAC=40°，求∠AMB的度数；（2）如图1②，如果将（1）中的∠BAC的度数改为70°，其余条件不变，再求∠AMB 的度数．20．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．）如图①，求证：；（1（2）如图②，若BD=CD，求证：AB=AC；（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．第9页【作业】三．．“石门福地”小区有一块直角梯形花园，测1∠米，∠量AB=20DEC=90°，平方°，则该花园面积为ECD=45米．°，BAC=90，如图，在△ABC中，AB=AC ∠2．BDAE于E，CEAE是过A点的一条直线，⊥，则CE=2cmDE=4cmAE⊥于D，，．BD=第10页°，C=90中，AC=BC，∠3．如图，在Rt △ABC分别在E边的中点，点D、AB=8，点F是AB、AD=CE，连接DE、ACBC边上运动，且保持．在此运动变化的过程中，下列结论中DF、EF ．正确的结论是是等腰直角三角形；）△DFE（1 不可能为正方形；）四边形CDFE（2 4；3）DE长度的最小值是（ CDFE的面积保持不变；（4）四边形面积的最大值为4．5（）△CDE，现另有一．在直角坐标系中，如图有△4ABCABCD为顶点的三角形与△BD点满足以A、、．D全等，则点坐标为第11页平BDA=90°，5．如图所示，在△ABC中，∠，+BC=8AB分∠ABC，AD=2cm，S．= ABC△，ABDFABC的角平分线，⊥6．如图，AD 是△的面积分AED△ADG和△垂足为F，DE=DG，．的面积为和别为5038，则△EDF，°．AB=BCABC中，∠ABC=907．如图，在△）0，2）4，0，B（（﹣A的坐标；，求点C（1）如图1轴于yAC交，交）如图22，BCx轴于点M（ CMN∠；AMB=BM=CMN点，且，求证：∠ 12第页（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△BOF与等腰直角△ABE，连接EF交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出其长度．8．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB 的中点．点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．第13页（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1s，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？9．如图，AD∥BC，∠D=90°．（1）如图1，若∠DAB的平分线与∠CBA 的平分线交于点P，试问：点P是线段CD 的中点吗？为什么？（2）如图2，如果P是DC的中点，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度数为多少？第14页10．观察、猜想、探究：．ACB=2∠B在△ABC中，∠的角BACAD为∠（1）如图①，当∠C=90°， CD；平分线时，求证：AB=AC+的BACAD为∠902（）如图②，当∠C≠°，又有怎样的数CD、ABAC、角平分线时，线段量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； 15第页的外角平分线时，ABC为△3）如图③，当AD（又有怎样的数量关系？请写CD线段AB、AC、出你的猜想，并对你的猜想给予证明．参考答案与试题解析解：）．，）（，14），，5，（010（．．．1cm2①当△COF和△FAQ全等时，OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，第16页，代入得：∵AQ=att，OF=t，AF=10﹣OC=6，，，a=a=1t=4，，或t=5或，解得：CBQ）；②同理当△FAQ和△51∴（，4），（，BC=AF，BQ=AQ，全等时，必须CBQ③因为△，此时不存在；610=10﹣t，﹣at=at 的最长直角边不，而△COFBC=10最长直角边，FCOF10，所以△和△BCQ不全等，④能等于CBQQ，A三点重合，此时△COF和△，（110）故答案为：此时为全等，（0， 10）．54），（，），（0，5．△3°．604．°．．42解：．55°．7．．DCB，∠DCB6．4，AF，，使ADEF=BC，，连AC延长DE至F ∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∵ACD，△△AEF≌Rt△ABCRt由题中条件可得，≌△AFD 2=4．××2××∴S=2S=2?DF?AE=2ADFABCDE△ 4．故答案为：48．130．11．．个．9125°．10．18 （填序号））．5）（2）（12°．．1（）4（ 17第页13．证明：（1）连结AP，EF；∵△ABC为等腰直角三角形，且点P为斜边BC的中点，∴PA=PB=PC，PA⊥BC；而∠EPF=90°，∴∠APF=∠BPE，∠PAC=∠PBA=45°，∴∠PAF=∠PBE=135°；∴△APF≌△BPE （ASA），∴AF=BE，而AB=AC，∴AE=CF．（2）∵△APF≌△BPE，∴PF=PE，而∠EPF=90°，∴△EPF为等腰直角三角形．（3）∵△APF≌△BPE，∴∠PFA=∠PEB，∴∠FEA+∠PFC=∠FEA+∠PEB=45°．（4）∵△APF≌△BPE，∴S=S，∴S﹣PFCPBEAPF△△△，而，=SS=S﹣SAPCPFCAPFPBE△△△△∴S﹣S=S．ABCPFCPBE△△△14．解：（1）作CD⊥y轴，AB⊥DC延长线于B，点+BCA∠+BCA=90°，∠∵∠BAC °，∠DCO=90≌△ABCDCO，∴△∴∠BAC=∠，CDO（AAS）点坐AB=CD=1，∴A，∴BC=OD=3 ；2标（﹣4，） EOF=45°；）∴∠（2第18页（3）不变，理由如下：作MK⊥ON于K点，MF⊥NC于F点，连接MC，∵∠MFC=∠CNO=∠MKN=90°，∴∠FMK=90°，四边形MKNF为矩形，∵AC=CO，M是AO中点，∴∠CMO=90°，CM=MO，∵∠CMO=∠CMK+∠KMO，∠FMK=∠FMC+∠CMK，∴∠KMO=∠FMC，∴△FMC≌△KMO（AAS），∴FM=MK，∴矩形MKNF为正方形，∴∠MNO=45°．15．解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴△ADE≌△ADC（SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）．16．（1）答：BE垂直平分AC，证明：∵AC 平分∠DAE，∴∠DAC=∠EAC，∵DA∥CE，∴∠DAC=∠ACE，∴∠ACE=∠EAC，∴EA=EC，∴E在AC的垂直平分线上，∵AB=CB，∴B在AC的垂直平分线上，∴BE垂直平分AC；19第页（2）解：∵AC是∠DAE的平分线，∴∠DAC=∠CAE=25°，又∵DA∥E∴∠DAC=∠ACE=25°∴∠CAE=∠ACE=25°∴AE=CE，∠AEC=130°，∴△AEB≌△CEB，∴∠AEB=∠CEB，∴∠AEB=（360°﹣∠AEC）=115°．17．面积法18．证明：（1）∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，∴∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAC，∴∠BAP+∠MBP=（∠ABC+∠BAC）=（180°﹣∠C）=60°，∴∠APB=120°；（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，∴PF=PG，PF=PH，∴PH=PG，∴点P在∠C的平分线上；（3）如图2，在AB上取点M使AM=AE，连接PM∵AD是∠BAC的平分线，∴∠PAM=∠PAE，∴△AMP≌△AEP，∴∠APM=∠APE=180°﹣∠APB=60°，∴∠BPM=180°﹣（∠APM+∠APE）=60°，∠BPD=∠APE=60°，∴∠BPM=∠BPD，第20页∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠MBP=∠DBP，∴△BOM≌△BOD，∴BM=BD，∴AB=AM+BM=AE+BD．19．解：∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=40°，∴∠∵ABC=70°，分线的垂直平AB，NAB于点交BAM=∴∠∴AM=BM，BC交的延长线于点M，﹣∠AMB=180°﹣∠ABC∠ABC=70°，∴∠ BAM=40°；°，∴∠BAC=70ACB）∵∠ABC=∠，∠2（，AB的垂直平分线交于点NABC=55°，∵ABBAM=∴∠，M∴AM=BM，的延长线于点交BC ABC=55°，∠第21页﹣∠BAM=70°．°﹣∠∴∠AMB=180ABC，E⊥AB于20．解：（1）如图①，证明：作DE 的平分线，是∠BACDF ⊥AC于F，∵AD∴；∴DE=DF）的结论2）∵BD=CD，∴S 由（1=S（ACDABD△△；，∴，∴AB=AC，∵，垂足为A作AE⊥BCE（3）如图③，过，）的结论1，∴，由（∴，BD=∴DC=．【作业】 3．．（1）．200．2．6cm?吉安模拟）在直角坐标系中，如图有（20164．为顶点D满足以A、B、ABC△，现另有一点D，（0全等，则的三角形与△ABCD点坐标为．），）或（，﹣）或（﹣22222 22第页8cm．6．56．．2，⊥BO（1）作CD7．解：+°，∠ABO+∵∠CBD∠ABO=90 BAO，BAO=90°，∴∠CBD=∠∠，，∴BD=AO=4（AAS）≌△∴△ABOBCD CD=BO=2，；22，﹣）∴C点坐标（）（2轴，EG⊥y（3）作∠+°，∠OBA∵∠BAO+∠OBA=90EBG=90°，≌△BAO∠∴∠BAO=EBG，∴△，EBG（AAS），∴BF=EG，OB=BF∴BG=AO，EG=OB，∵），FBP∴△EGP≌△（AAS PB=PG，∴PB=BG=AO=2．∴的运动速度的运动速度与点P18．解：（）点Q CQP全等，与△秒后，△相等，经过1BPD第23页理由是：∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，∴∠B=∠C，BD=5厘米，∵BP=CQ=3t 厘米=3厘米，∴CP=8厘米﹣3厘米=5厘米=BD，∴△DBP≌△PCQ（SAS）；（2）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8﹣3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，即①3t=xt，5=8﹣3t，解得：x=3（不合题意，舍去），②3t=8﹣3t，5=xt，解得：x=，即当点Q的运动速度为厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等．9．解：（1）点P是线段CD的中点．理由如下：过点P作PE⊥AB于E，∵AD∥BC，∠D=90°，∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC，∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P，∴PD=PE，PC=PE，∴PC=PD，∴点P是线段CD的中点；第24页（2）过点P作PE⊥AB于E，∵AD°﹣°，∴∠C=180BC，∠D=90∥PBE．∴△BC°，即PC⊥∠D=90，（AAS）≌△PBC，PC=PD°，PE=PC，∵∴∠EPB=∠CPB=35∴∠，（HL）PAD≌Rt△PAE∴PD=PE，∴Rt△×2APE=180°﹣APE，∵∠APD+∠APD=∠°，°=11035°﹣∠PAD=90APD=55°，∴∠∴∠°．APD=35，于点E⊥AB，交ABD10．解：（1）过作DE⊥的平分线，DC所示，∵AD为∠BAC如图1RtACD和，在Rt△AC，DE ⊥AB，∴DE=DC≌ACD，∴Rt△△AED中，AD=AD，DE=DC，AEDACB=∠）（HL，∴AC=AE，∠Rt△AED ，∠B∠B，∴∠AED=2∵∠ACB=2，∴∠EDB∠EDB，∴∠B=又∵∠AED=∠B+；AE=CD+ACAB=BEBE=DE=DC，则+上截取ABAC，理由为：在2（）AB=CD+ 2所示，AG=AC，如图，CAD的平分线，∴∠GAD=∠BAC∵AD为∠AGD=，CD=DG∠∴）（≌△∴△ADGADCSAS， 25第页∠ACB，∵∠ACB=2∠B，∴∠AGD=2∠B，又∵∠AGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BE=DG=DC，则AB=BG+AG=CD+AC；（3）AB=CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG=AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD=∠CAD，∴△ADG≌△ACD （SAS），∴CD=GD，∠AGD=∠ACD，即∠ACB=∠FGD，∵∠ACB=2∠B，∴∠FGD=2∠B，又∵∠FGD=∠B+∠GDB，∴∠B=∠GDB，∴BG=DG=DC，则AB=BG﹣AG=CD﹣AC．。