正棱台体公式推导（1）将正四棱台切割成九部分（如下图）
C
A
G H
B
F
E
D
I
（鸟瞰图）（立体切面图）
E在棱台体中间位置，是一个方形体；
B、D、H、F是四个三棱柱，分别位于在方形体的四周位置；
A、C、G、I 是四个四棱锥，分别位于棱台体的四个角的位置。

（2）用字母表示图形部位
顶面棱长为，底面棱长为a,棱台体高为h。

（3）体积的计算
(1)一个方形体E，其底面是边长为b、高为h的方形体，体积为h
b2；
（图V1）
(2)四个四棱锥A、C、G、I，用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为
2
b
a-
、高为h的方形体。

（四棱锥）（三个四棱锥拼合图形）（多出一个四棱锥）
方形体的体积为（
2
b
a-
）2h。

其中一个四棱锥的体积就是
3
1
（
2
b
a-
）2 h。

四个四棱锥的体积和则
为
3
4
（
2
b
a-
）2 h。

化简可得：
3
1
（b
a-）2 h
(3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为b、
2
)
(b
a-
、h的长方体，体积和为
b(a-b)h。

（三棱柱） （拼合图形）
（4）四棱台的体积
四棱台的体积等于上述三项（九个部分）之和
V=h b 2+3
1（b a -）2h+ b (a-b )h 解：V= [b 2 +31（b a -）2+ b (a-b )] h
截面积组成：
方形体的截面积：顶面的边长乘以边长； 字母表示 b 2 四个三棱柱截面积和： 字母表示b(a-b)
一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。

四个四棱锥截面积和： 字母表示3
1（b a -）2 一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。

化简可得 h b ab a V )(3122++=。