2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题
第一天
1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC
上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。
记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD
相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。
证明：AP 平分ABC ∠。
2. 给定质数p 。
设()ij A a =是一个p p ⨯的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。
允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。
求好矩阵A 的个数。
3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i
i a M >；
（2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得
1122m m n b a b a b a =+++ .
第二天
4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。
对满足
121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n
F f x f x ≤<≤=
∑
的最大值。
参考答案
第一天
1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。
分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。
由已知条件易得,AD DC AE EB ==。
结合A 、B 、D 、
12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也
不改变结论。
同样，不妨设12p y y y <<< 。
于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。
由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。
否则，将整个数表关于主对
角线作对称，不改变题设也不改变结论。
下面用反证法证明：1,2,,p 全在第一行中。
假设1,2,,(2)k k p ≤< 在第一行中，1k +不在第一行中。
于，211a k =+。
将连续的k 个整数称为一个“块”，只需证明：表格的第一行恰由若干个块构成，即前k 个数为一个块，之后的k 个数又是一个块，等等。
如若不然，设前n 组k 个数均为块，但之后的k 个数不成为块（或之后不足k 个数），由此知对(1)1(1)21,2,,,,,,j k j k jk j n y y y -+-+= 构成块。
从而，表格的前nk 列共可分成pn 个
1k ⨯的子表格,(1)1,(1)2,,,,(1,2,,;1,2,,)i j k i j k i jk a a a i p j n -+-+== ，每个子表格中的k
个数构成块。
现假设2,11,1212111nk nk a a x x a a k ++-=-=-=，故2,1nk a a k +=+。
从而a b +必定在前
nk 列中。
这样a b +含在某个前面所说的1k ⨯的块中，但a 、a k +都不在该块中，矛盾。
于是，第一行恰由若干个块构成。
特别地，有|k p 。
但1k p <<，而p 是质数，这导致矛盾。
于是，数表的第一行恰为1,2,,p ，而第k 行必定为(1)1,(1)2,,.k p k p kp -+-+ 因此，好矩阵A 在交换行，交换列，以及关于主对角线作对称下总可转化为唯一的形式。
所以，好矩阵的个数等于22(!).p
3. 递推地构造正整数序列{}n a 如下：取整数21a M >，以及211a a =+。
对2k ≥，取整
数2221
22121
1
,k k k
k i k i i i a M
a a k a ---==>+=+∑∑。
下面证明这一序列满足条件。
由定义知121
m m m a a a a -->+++ 对1m >均成立，且对任意正整数k 有2221k k k a a M ->>。
于是，这一序列是严格递增的正整数序列且满足条件（1）。
对任意正整数n 有21
21
n i n
i n a a
-==-
+∑及21
21
n i n i n a a
-=-=
-∑。
最后只需说明：0不能表示成1122
m m b a b a b a +++ 的形式，其中，12,,,{1,1}m b b b ∈- 。
当1m =时，110b a >。
当1m >时，1122121||()0m m m m m b a b a b a a a a a --+++≥-+++> 。
这样便验证了所构造的序列满足所有条件。
第二天
4. 解法1 由
对2311n x x x s x ++++=- 用归纳假设有
1111
()(1)()()2s x F nf x n n f g x n
-≤+-=
其中()g x 为关于x 的二次函数，其二次项系数为2
1
12n n -+，一次项系数为
12()2n s
a b a b n n
-+-
++。
因此，对称轴为
2212()2[2(1)2(1)()](1)(21)
12(1)2n s
a b a b
s n n n s n n a b n s n n n n n
-++--≤⇔--+++≤+--++
6. 设a b c <<，令,,.x a b y a c z b c =+=+=+ 则,x y z x y z <<+>，且x y z ++为偶数.① 反之，若存在x 、y 、z A ∈满足性质①，则取,,,222
x y z x z y y z x
a b c +-+-+-=
==有a 、b 、,12012c Z a b c ∈≤<<≤，且,,.x a b y a c z b c =+=+=+
于是，题述条件等价于对任意的k 元子集A ，均有x 、y 、z A ∈，满足性质①。
若{1,2,3,5,7,,2011}A = ，则1007A =，且集合A 中不含有满足性质①的三个元素。
因此1008.k ≥
下面证明：任意一个1008元子集均含有三个元素满足性质①。
接下来证明一个更一般的结论：
{1,2,4,6,,2,21,22}A n n n =++ ，此时，4、6、8A ∈满足性质①。
综上，所求最小的k 为1008.。