三角函数习题
1．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．
(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ⋅u r r 的最大值是5,求k 的值
2．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向
量
(2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ,且//m n r r ｡ (I)求锐角B 的大小;
(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值
3．已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡
(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3
4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡
4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+
(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期;
(II)求使不等式3()2
f x ≥成立的x 的取值集合｡ 5
．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，． （1）求)(x f 的最大值和最小值；
（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡
7．在锐角ABC ∆中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA
－tanB)＝1＋tanA·tan B ．
(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围．
三角函数习题答案
1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．
即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B
=sin(B +C )
∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0.
∴cos B =2
1. ∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅u r r =4k sin A +cos2A ．
=-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,
32π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(. 则m n ⋅u r r =-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(.
∵k >1,∴t =1时,m n ⋅u r r 取最大值.
依题意得,-2+4k +1=5,∴k =
2
3. ｡ 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B
2sinBcosB=-3cos2B tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3
(2)由tan2B =- 3 B=π3或5π6
①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤3
∴△ABC 的面积最大值为 3
②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2-3
∴△ABC 的面积最大值为2- 3
3.【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=
x x x x f ∴当]22
3,22
[34ππππππk k x
++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡ (2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x ∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx ∴]21,21[34cos -∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ππx ∴0=x 时,2
3)(max =x g
4.【解析】
又]0,2[π
α-∈Θ,0cos sin <-∴αα,34
cos sin -=-αα
因此, 127
cos sin 2sin =-ααα
5.【解析】（Ⅰ）π
()1cos 2321sin 2322f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵
π12sin 23x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭． 又ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∵，π
π2π
2633x -∴≤≤， 即π212sin 233x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭≤≤，
max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，．
6.【解析】:(I)由已知得23
sin 23
cos sin
2222A A A
bc a c b ⇒=⋅-+
又在锐角△ABC 中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣1分]
(II)因为a=2,A=60°所以bc A bc S bc c b 43sin 21,422==+=+ 而424222≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b 又3443
43
sin 21=⨯≤==bc A bc S
所以△ABC 面积S 的最大值等于3
7.【解析】。