例题解析【例1】填空：（1）长方体有______个顶点；（2）长方体有______个面，每个面都是______，相对的两个面的面积______；（3）长方体共有______条棱，按棱的长短可分为______组，每组棱的长度相等，每组有______条棱．【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）8；（2）6；长方形；相等；（3）十二；三；四．【总结】考查长方体的相关元素的概念．【例2】判断：（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（）（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（）（3）长方体共有6个面；（）（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（）（5）平面就是水平面；（）（6）水平面是平面．（）【难度】★【答案】见解析．【解析】（1）正确；（2）错误：桌面所在的平面是无穷无尽的，但是桌面的面积是固定的；（3）正确；（4）错误，长方体至少有两个面形状大小相同；（5）错误：平面不一定是水平面（6）正确：水平面就是一个平面．【总结】考查长方体的元素，注意进行辨析．【例3】在长方体ABCD– EFGH中，与棱EF相等的棱是（）A．棱AB、棱CD、棱GH B．棱AB、棱AE、棱BFC．棱GH、棱EH、棱FG D．棱BC、棱CG、棱GF【难度】★【答案】A【解析】画图即可观察出，与一条棱相等的棱共有三条，分别是棱AB、棱CD、棱GH．【总结】考查长方体的棱的概念．1/ 16【例4】用一根长为100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长方体架子，应该如何截取？材料够吗？【难度】★★【答案】够，还剩28cm材料剩余．【解析】由题意，若按照棱长分别为5cm、6cm、7cm来做的话，可以做一个长方体架子，用掉（5+6+7）×4=72cm材料，还有28cm材料剩余．【总结】考查长方体的总棱长的和的概念．【例5】棱长总和是24厘米的正方体，它的表面积为______，体积为______．【难度】★★【答案】24平方厘米；8立方厘米．【解析】由题意可知正方体的棱长为：24÷12=2cm，故表面积为：2×2×6=24平方厘米，体积为：2×2×2=8立方厘米．【总结】考查正方体的表面积与体积的计算．【例6】长方体的长、宽、高之比为2 : 1 : 1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正方体时，表面积增加了_____．【难度】★★【答案】50平方厘米．【解析】设长为2x，宽为x，高为x，则有：（2x+x+x）×4=80，解得：x=5，所以长方体的长为：5×2=10cm；宽为5×1=5cm；高为5×1=5cm，当长方体被截成两个正方体时，即增加了两个面，则增加的面积为：5×5×2=50平方厘米．【总结】考查正方体的表面积问题，注意切割后表面积的变化．【例7】要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多大的纸？【难度】★★★【答案】最少107平方厘米，最多127平方厘米．【解析】要使得需要的纸最少：即使得无盖的那一面面积最大，此时需要：（3×5+3×7）×2+5×7=107平方厘米；要使得需要的纸最大：即使得无盖的那一面面积最小，此时需要：3 / 16（3×7+5×7）×2+3×5=127平方厘米．【总结】考查长方体的表面积的运算，注意对无盖的理解．【例8】 一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积． 【难度】★★★【答案】12立方分米或立方分米15或24立方分米．【解析】由题意可得，长宽高的和为36÷4=9，由题意有以下三种情况：①长、宽、高分别为：1、2、6，此时体积为：12立方分米 ②长、宽、高分别为：1、3、5，此时体积为：15立方分米 ③长、宽、高分别为：2、3、4，此时体积为：24立方分米 【总结】考查长方体的体积，注意分类讨论．【例9】 图中长方体正确表示为（ ） A ．长方体ABCD B ．长方体EFGH C ．长方体AB D ．长方体ABCD -EFGH 【难度】★ 【答案】D【解析】长方体的表示方法必须表示出每一个点，并且按照一定的顺序来表示． 【总结】考查长方体的表示方法．【例10】 要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_____条棱，这几条棱应该分别是____________． 【难度】★【答案】3；长、宽、高．【解析】知道长、宽、高，便能画出长方体的直观图． 【总结】考查长方体的画法．ABCDEFGH4 / 16【例11】 画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】①画平行四边形ABCD ，使AB 等于4，AD 等于长方体宽的二分之一，即1.5， 作45DAB ∠=︒（如图1所示）；②过AB 分别画AB 的垂线AE 、BF ，过C 、D 分别画CD 的垂线CG 、DH ，使它们的长 度都等于长方体的高（如图2）；③顺次联结E 、F 、G 、H ，（如图3所示）；④将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4）图4即为所求的长方体ABCD -EFGH ．【总结】考查长方体的斜二测画法，注意对画图语言的准确表示．【例12】 画一个棱长总和为36厘米的正方体． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】由题可确定正方体棱长为36÷12=3cm ，根据斜二测画法要求即可． 【总结】考查长方体的画法．ABCDABC D EFGHABCD EFGHABC DEFGH图1图2 图3图45 / 16【例13】 补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】如下图所示：原图中给的三条线一定分别是长宽高，按照图示补全即可．（1） （2） （3） （4） 【总结】考查长方体的画法，注意对所给的棱的准确分析．【例14】 在如图所示的长方体中，哪些棱与棱AD 平行？哪些棱与AD 相交？哪些棱与AD异面？ 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】与棱AD 平行的棱有：棱BC 、棱FG 、棱EH ；与棱AD 相交的棱有：棱AB 、棱AE 、棱DH 、棱DC ； 与棱AD 异面的棱有：棱EF 、棱HG 、棱BF 、棱CG ． 【总结】考查棱与棱的位置关系．【例15】 在长方体中，每一条棱与______条棱平行，每一条棱与______条棱相交，每一条棱与______条棱异面，互相平行的棱有______对，互相异面的棱有______对，相交的棱有______对． 【难度】★★【答案】3；4；4；18；48；24．【解析】①每一条棱与3条棱平行；②每条棱与4条棱相交；③每条棱与4条棱异面； ④每组互相平行的4条棱中，同一平面内互相平行的共有4对，异面平行的有2对； 因此共有：（4+2）×3=18对棱平行；⑤与每一条棱异面的有4对，那么共有：12×4=48A BCD EFGH6 / 16对棱互相异面；⑥因为每条棱与4条棱相交，剔除重复的部分，所以相交的棱共有： 4×12÷2=24对．【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系，这些都是不变的，可以要求学生记住．【例16】 如图，在长方体ABCD —EFGH 中，填写下列各对线段所在直线的位置关系．（1）棱AD 与AG ：_________________； （2）棱DH 与EG ：_________________； （3）EG 与BD ：_________________； （4）棱DC 与DB ：_________________． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）相交；（2）异面；（3）异面；（4）相交． 【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系．【例17】 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________． 【难度】★★【答案】平行或异面或垂直．【解析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；若没有强调同一平面，则垂直于同一直线的两直线可能异面，也可能垂直． 【总结】考查直线的位置关系．【例18】 如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是__________． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】平行或异面，由于是投影，那么原两条直线未必在同一平面内，可能异面，只要满 足投影平行即可，可以让学生自己拿着笔，打开手电筒演示一下． 【总结】考查两直线的位置关系．【例19】 教室里的日光灯与地面的位置关系是______，桌腿与桌面的位置关系是______． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）平行；（2）垂直． 【总结】考查直线与平面的位置关系．ABCD EFGH7 / 16【例20】 如图，在长方体ABCD -EFGH 中：（1）与棱DH 垂直的平面是___________________； （2）与棱BC 平行的平面是___________________； （3）与平面ADHE 垂直的棱是________________； （4）与平面EFGH 平行的棱是________________； 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）平面ABCD 、平面EFGH ；（2）平面EFGH 、平面AEHD ； （3）棱AB 、棱EF 、棱HG 、棱DC ；（4）棱AB 、棱BC 、棱CD 、棱AD ． 【总结】考查直线与平面的位置关系，注意进行辨析．【例21】 铅垂线是垂直于____面的直线，用___________法可以检验课桌的边沿是否与地面平行，用__________法可以检验细棒是否与地面垂直． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】地、铅垂线、铅垂线． 【总结】考查直线与平面的位置关系．【例22】 如图，用__________法可以检验细棒是否与斜面垂直． 【难度】★★ 【答案】三角尺法． 【解析】三角尺法．【总结】考查直线与平面的位置关系．【例23】 在长方体中的每一条棱有______个平面和它垂直，每一个面有______条棱与它垂直，每一条棱有______个平面和它平行，每一个面有______条棱与它平行． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】2、4、2、4．ABCDEFGH8 / 16【总结】考查直线与平面的位置关系．【例24】 在长方体ABCD -EFGH 中，AB = 3厘米，BF = 5厘米，与棱AB 垂直的平面的面积之和是32平方厘米，求这个长方体的表面积． 【难度】★★★ 【答案】81.2平方厘米．【解析】由题意，与棱AB 垂直的平面即为左右两个侧面，面积和为32，则每个侧面面积 为16，因为BF =5cm ，可得：BC =3.2cm ，所以长方体的表面积为： 2×（3×3.2+3×5+3.2×5）=81.2平方厘米．【总结】考查直线与平面的位置关系，综合性较强，注意认真分析．【例25】 如图，与平面ABFE 垂直的平面有____________，与平面BCGF 平行的平面有_____________． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】面BCGF 、面ADHE 、面ABCD 、面EFGH ； 面ADHE ．【总结】考查平面与平面的位置关系． 【例26】 下列结论正确的是（ ）A ．在长方体中，与其中的一个面垂直的面有2个B ．在长方体中，与其中的一个面平行的面有4个C ．长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等D ．长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行 【难度】★★ 【答案】D【解析】A 错误，有四个；B 错误，有1个；C 错误，还有一条高不能确定；D 正确 【总结】考查平面与平面的位置关系．【例27】 如图，与面ADHE 垂直的面有__________________________． 【难度】★★ 【答案】见解析ABCD EFGH ABCD EFGH9 / 16CA BDE F【解析】面ABFE 、面ABCD 、面EFGH 、面DCGH ． 【总结】考查直线与平面的位置关系．【例28】 可以用________________检验教室的墙面与地面是否垂直． 可以用________________检验衣橱里横向的两块隔板是否平行． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】铅垂线法或合页型折纸法、长方形纸片法． 【总结】考查直线与平面的位置关系的检测方法．【例29】 如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面C 垂直的平面是________．（用图中的字母表示） 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】与已知面垂直的平面是与之相邻的四个平面：B 、D 、E 、F ． 【总结】考查平面与平面的位置关系．【例30】 如图，在长方体ABCD -EFGH 中，找出与平面BCHE 垂直的平面，并找出现成的合页型折纸，在图上用阴影部分表示． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意可知，与平面BCHE 垂直的平面分别是： 平面ABFE 、平面DCGH ．【总结】考查平面与平面的位置关系，注意认真分析，综合性较强．【习题1】 正方体的棱长扩大2倍后，体积增大到原来的______倍．随堂检测ABCDEFG H10 / 16【难度】★ 【答案】8．【解析】正方体的体积等于长×宽×高，所以棱长扩大两倍后，体积就扩大2×2×2=8倍． 【总结】考查正方体的棱长与体积的关系．【习题2】 在图中的长方体中：（1）从正面看，看不见的棱有___________； （2）与棱EH 相等的棱有_______________； （3）与平面ADHE 相对的平面有________； （4）位于水平位置的平面有_____________． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）棱：AD 、DC 、BC 、EH 、GF 、HG 、HD 、GC ；（2）棱：AD 、GF 、BC ； （3）面BCGF ；（4）面ABCD 、面EFGH ． 【总结】考查长方体的棱与面的位置关系．【习题3】 在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是__________． 【难度】★ 【答案】平行异面．【解析】两条棱没有公共点，则说明这两条棱要么平行，要么异面． 【总结】考查长方体中棱与棱的位置关系．【习题4】 下列说法正确的是（ ）A ．平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面B ．长方体中棱与平面不是垂直就是平行C ．若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行D ．长方体中任何一条棱都与两个平面平行 【难度】★★ 【答案】D【解析】A 、光滑的镜面不一定是水平面，与所放的位置有关；B 、棱可能正好在这个平面ABCDEFGHAB C DEFGH14 5 32 1 5? 3 内；C 、这两条直线可能相交，只要它们都在平行于该平面的某个平面内；D 正确． 【总结】考查对长方体的基本位置关系的认识．【习题5】 如图所示的六面体中，AEFB 和DHGC 是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：（1）其中有______条棱与平面ADHE 垂直； （2）其中有______条棱与平面AEFB 垂直； （3）其中有______条棱与平面ABCD 垂直； （4）其中有______条棱与平面BFGC 垂直． 【难度】★★【答案】（1）4；（2）4；（3）2；（4）0．【解析】（1）AB 、DC 、HG 、EF ，共4条；（2）AD 、EH 、BC 、FG ，共4条；（3）AE 、DH ，共2条；（4）0条．【总结】考查立体图形中棱与棱的关系，注意进行辨析．【习题6】 一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A 、B 、C 三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【难度】★★ 【答案】D ．【解析】第三个图5和3相邻，第二个图1和3相邻，因此4对面是3，1对面是6，5对面 是2，6和3、5相邻，所以问号处是6，故选D ． 【总结】考查对长方体的面的认识．【习题7】 长方体的总棱长是72厘米，它的长 : 宽 = 2 : 1，宽 : 高 = 2 : 3，这个长方体的体积是______． 【难度】★★ 【答案】3192cm ．【解析】因为长方体的总棱长为72厘米，故长+宽+高=72418÷=厘米， 由题意知长：宽：高=4:2:3，设长宽高分别为423x x x 、、，则423182x x x x ++==，解得：，所以长、宽、高分别为8、4、6， 所以体积是3846192cm ⨯⨯=． 【总结】考查长方体的体积的计算．【习题8】 把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，它的表面积增加了300平方厘米，则分成的两块长方体木块的体积分别为__________． 【难度】★★★【答案】3330004500cm cm 、． 【解析】把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，长分别为20厘米和30厘米．因为切割后表面积增加了300平方厘米，故原厂方体的长×宽为：23002150cm ÷=， 故分成的两块长方体木块的体积分别为：3201503000cm ⨯=、3301504500cm ⨯=． 【总结】本题综合性较强，一方面考查长方体的体积计算，另一方面要对增加的表面积进行 准确理解．【习题9】 小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，求这个木盒的表面积． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】当有盖时，表面积为：()22353858158cm ⨯⨯+⨯+⨯=，①当高是3厘米时，木盒的表面积为：215858118cm -⨯=； ②当高是5厘米时，木盒的表面积为：215838134cm -⨯=； ③当高是8厘米时，木盒的表面积为：215835143cm -⨯=． 【总结】考查长方体的表面积计算，注意要分类讨论．【习题10】 一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同的正方体，求这个长方体的体积． 【难度】★★★ 【答案】340cm ．【解析】设正方形边长为x 厘米，则由题意可得： 22245882x x x +⨯⨯==，解得：，ABCDEF故这个长方体的体积为：3222540cm ⨯⨯⨯=．【总结】本题综合性较强，主要考查长方体的表面积与体积的计算，注意认真分析题意．【作业1】 长方体中经过同一顶点的面的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】C 【解析】C【总结】考查长方体的基本认识．【作业2】 如图，在一张长方形纸片ABCD 对折后翻开所成的图形中：（1）与直线DF 平行的直线是_____________； （2）与直线EF 平行的直线是_____________； 与直线EF 相交的直线是______________； （3）与直线AE 异面的直线是_____________； 与直线BC 异面的直线是______________． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）与直线DF 平行的直线是AE ；（2）与直线EF 平行的直线是AD 、BC ，与直线EF 相交的直线是AE 、BE 、DF 、CF ； （3）与直线AE 异面的直线是BC 、FC ，与直线BC 异面的直线是AE 、DF ． 【总结】考查立体图形中直线间的位置关系．【作业3】 在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（ ）A ．不一定存在B ．有且只有一条C ．可能有一条，也可能有两条D ．不止两条【难度】★★ 【答案】B课后作业A BCD EFGH【解析】画图观察即可．【总结】考查长方体的棱与棱之间的位置关系．【作业4】 补画长方体：【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】如图所示：【总结】考查长方体的画法．【作业5】 下列图形中，不能围成长方体的是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】B【解析】B 选项两个面重复了，围不成长方体． 【总结】考查长方体的展开图，注意进行分析．【作业6】 如图，桌面上放着一本打开的书，（1）与桌面垂直的平面有哪几个？ （2）平面ABFE 与平面ABHG 是否垂直？ 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）平面ABHG 、平面ABFE 、平面ABDC ； （2）不一定，当90HBF ∠=o 时，两面垂直． 【总结】考查平面之间的位置关系．【作业7】 将一个长、宽、高分别为2厘米、2.5厘米、3厘米的长方体切割成一个体积最大的正方体，则切割剩余部分的体积是______．【难度】★★ 【答案】37cm ．【解析】要切割成体积最大的正方体，则所切得的正方体的边长为2厘米， 故切割剩余部分的体积是：332 2.5327cm ⨯⨯-=． 【总结】考查长方体的切割问题，注意认真分析．【作业8】 将两个长是5厘米、宽是4厘米、高是3厘米的长方体重叠放置，它的表面积是_________________．【难度】★★★【答案】222164158148cm cm cm 或或． 【解析】表面积分别为：()()2554553432164cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； ()()2445443532158cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦； ()()2335334542148cm +⨯++⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦．【总结】考查长方体的表面积计算，注意进行分类讨论．【作业9】 12个棱长为1厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积． 【难度】★★★【答案】222504038cm cm cm 或或．【解析】当以121⨯叠放时，表面积为：[]212112111250cm ⨯+⨯+⨯⨯=；当以62⨯叠放时，表面积为：()2626121240cm ⨯+⨯+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦；当以43⨯叠放时，表面积为：()2434131238cm ⨯+⨯+⨯⨯=． 【总结】考查长方体叠放及表面积的计算问题，注意进行分类讨论．AB CDOEFPNMGH【作业10】如图，把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE分成3 : 1的两段，分点为M，过点M按平行于面ABCD的方向把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少？【难度】★★★【答案】331080036400cm cm和．【解析】因为把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，所以原长方体的宽×高为：8002=400÷平方厘米．故大长方体的体积为：3108400324004⨯⨯=立方厘米，小长方体的体积为：1108400108004⨯⨯=立方厘米．【总结】考查长方体的分割及体积计算问题，注意进行认真分析．。