五年级奥数长方体与正方体（二）教师版如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱．cba HGFEDCBA①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体．长方体与正方体的体积立体图形 示例体积公式 相关要素长方体V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h、S 二要素： 正方体3V a =V Sh= a一要素： h、S 二要素：不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法例题精讲长方体与正方体（二）③先补后去法④实际操作法⑤画图建模法【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分【解析】由题意知长、宽、高的和为2847÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米【答案】8【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有___________块。
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。
【答案】6【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米多多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报,决赛【解析】0.078(1.30.3)0.2÷⨯=(米)．0.2米=2分米．⨯⨯-=(立方米)．1.30.30.30.0780.039所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方米．【答案】0.039【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。
8个这样的铁环依此连在一起长厘米。
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,复赛,第10题,4分【解析】两个铁环连在一起,重叠的部分长16×2-28＝4厘米,8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。
【答案】100【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米,405厘米,485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?高长【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,决赛,口试 【解析】 长方体中高+宽1(3655)1802=-=, ⑴高+长1(4055)2002=-=, ⑵长+宽1(4855)2402=-=, ⑶⑵-⑴：长-宽20=, ⑷ ⑷+⑶：长130=,从而宽110=, 代入⑴得高70=． 所以长方体体积为701101301001000⨯⨯=(立方厘米) 1.001=(立方米)【答案】1.001【例 6】 某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱,并用三根长度分别为235厘米、445厘米、515厘米的尼龙带进行加固（如下图）,若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米,那么这个长方体包装箱的体积是立方 米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,高年级,初赛,9题 【解析】 长方形的长为：()44551523554180+--=÷（厘米）；长方形的宽为:()51551802275--=⨯÷（厘米）； 长方形的高为：()2355752240--=⨯÷（厘米）；长方形的体积为:61807540100.54=⨯⨯÷（立方米）。
【答案】0.54【例 7】 一个长方体的表面积是33.66平方分米,其中一个面的长是2.3分米,宽是2.1分米,它的体积是_____立方分米.【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯【解析】 长方体的高是30(33.66 2.1 2.32)2(2.1 2.3)11-⨯⨯÷÷+=(分米).长方体的体积是30192.1 2.31311110⨯⨯=(立方分米)．【答案】19 13 110【例 8】把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图),表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯,决赛【解析】96812÷=(平方厘米),122402880⨯=(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【答案】2880【例 9】一个长方体的宽和高相等,并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体,这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小数报,决赛【解析】设大长方体的宽(高)为a分米,则长为2a,右(左)面积为2a,其余面的面积为22a,根据题意,22222862600a a a⨯++⨯=所以225a=,5a=．大长方体的体积2555250=⨯⨯⨯=(立方分米)．【答案】250【例 10】有三个大小一样的正方体,将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状,表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】三个小正方体拼接成图中的样子,减少了小正方体的4个侧面正方形的面积,表面积减少了16平方厘米,每个正方形侧面为1644÷=平方厘米,每个正方体棱长为2厘米,三个小正方体体积(即所成形体的体积)是33224⨯=立方厘米.【答案】24【例 11】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左下图,从侧面看如右下图,那么他最多用了_____块木块,最少用了____ __块木块。
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯,五年级,决赛,第8题,10分 【解析】 从上往下看,分别如左下图和右下图所示(图中数字为每一格的木块数)。
321321223213001300203【答案】最多25,最少9【例 12】 边长为5的正方形,被分割成55⨯的小方格。
每个小方格上堆放边长为1cm 的正方体积木,个数如图所示。
在每个积木外露的面上贴一张红纸,其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。
共贴 张红纸。
恰贴3张红纸的有 块积木。
1533112543234252342154141【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯,4年级,决赛,第11题,12分 【解析】 从正面看,需要贴5525⨯=（张）；从左边看,需要贴5455524++++=（张）； 从右边看,需要贴5455524++++=（张）； 从前面看,需要5545524++++=（张）； 从后面看,需要5545524++++=（张）；再看中间凹进去的部分,需要贴644224426++++++=（张）, 所以一共需要贴252424242426147+++++=（张）； 先看四条边上,有14块积木贴3张红纸； 非边上的积木,有1块积木恰好贴3张, 所以一共有14115+=（块）积木。
【答案】共贴26张,共有15块【例 13】 有一个长方体,长是宽的2倍,宽是高的3倍；长的12与高的13之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是 立方厘米．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】 长的12即宽,所以高的13就是1厘米,高是3厘米,宽是339⨯=厘米,长是9218⨯=厘米,体积是3918486⨯⨯=(立方厘米)．【答案】486【巩固】一个长方体的各条棱长的和是48厘米,并且它的长是宽的2倍,高与宽相等,那么这个长方体的体积是______ 立方厘米．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,决赛 【解析】 依题意,这个长方体的长、宽、高之和是48412÷=(厘米),于是它的宽与高都等于12(211)3÷++=(厘米), 它的长是326⨯=厘米．所以这个长方体的体积是63354⨯⨯=(立方厘米)．【答案】54【例 14】 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体,已知每块砖的体积是3288cm ,则大长方体的表面积为多少？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如果知道每块砖的长、宽、高即可求出所有的量,但我们只知道它们的乘积,但可以从图中发现隐含的数量关系．由图可知每块砖的长、宽、高的比值,两个长等于三个宽,所以长、宽之比为3:2,四个高等于一个长,所以长、高之比为4:1,长、宽、高之比为12:8:3,设砖的长为12单位,那么体积应该为1283288⨯⨯=个立方单位,所以一个单位长度就是1厘米,所以大长方体的长、宽、高分别为：24厘米,12厘米,11厘米,所以大长方体的表面积为：24121211112421368⨯+⨯+⨯⨯=（）平方厘米．【答案】1368【例 15】 有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 把碎石沉没在水中,水面升高所增加的体积,就等于所沉入的碎石的体积．因此,沉入水池中的碎石的体积是 330.060.54⨯⨯=(米3),而沉入小水池中的碎石的体积是220.040.16⨯⨯=(米3)． 这两堆碎石的体积一共是0.540.160.7+=(米3)．把它们都沉入大水池里,大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3．而大水池的底面积是6636⨯=(米3)．所以水面升高了0.70.73636÷=(米)7036=(厘米)17118=(厘米)． 故大水池的水面升高了17118厘米．【答案】17118【例 16】 一个正方体容器,容器内部边长为24厘米,存有若干水,水深17.2厘米,现将一些碎铁块放入容器中,铁块沉入水底,水面上升2.5厘米,如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱,重新放入池中,则水面升高几厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【解析】设铁块铸成和容器等高的实心圆柱放入池中水面升高x厘米,则有水面升高后水的总体积=原来水的体积+铁块浸入水中的体积,22242417.2x S x⨯=⨯+⨯铁块的底面积,其中22424 2.5 S⨯=⨯铁块的底面积,得到24 2.5S=⨯铁块的底面积,解得19.2x=,所以水面升高了19.217.22-=(厘米)．【答案】2【例 17】如图,有一个棱长为10厘米的正方体铁块,现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱）,且穿透．另有一长方体容器,从内部量,长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米,内部有水,水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器中,则铁块在水下部分的体积为立方厘米．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯,初赛,6年级【解析】可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体,高为3厘米；中间一层为4个长方体立柱,高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深3厘米,所以正方体铁块放入水中后,铁块最下面一层肯定全部在水中,而水也不可能上升到最上面一层,即恰在中间一层.设水面上升了h厘米,则中间一层在水中的部分恰好为h厘米.由于水面上升是由于铁块放入水中导致,水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积,即：2221512(104)334h h⨯⨯=-⨯+⨯⨯,解得74 h=,故铁块在水下部分的体积为715123154⨯⨯=(立方厘米).【答案】315【例 18】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体,这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等,那么最少可分割成个小正方体．【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯,决赛【解析】因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然,棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体,剩余部分再切割出33322227819⨯⨯-⨯⨯=-=个棱长是1厘米的小正方体,这样总共可以分割成11920+=(个)小正方体．【答案】20【巩固】有一个长方体的盒子,从里面量长40厘米,宽12厘米,高7厘米,在这个盒子里放长5厘米,宽4厘米,高3厘米的长方体木块．最多可放块．444433333【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】 上图表明34⨯的长方形可以填满712⨯的长方形．于是534⨯⨯的长方体可以填满40712⨯⨯的长方体,即盒子中最多可放这种长方体 40712(534)56⨯⨯÷⨯⨯=(个)．【答案】56【例 19】 有甲、乙、丙3种大小的正方体木块,棱长比是1:2:3．如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体,且每种都至少用一个,则最少需要这三种正方体共多少？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设甲的棱长是1,则乙的棱长是2,丙的棱长是3．一个甲种木块的体积是1,一个乙种木块的体积是2228⨯⨯=,一个丙种木块的体积是33327⨯⨯=．由于每种正方体都要用到,那么所拼成的正方体的棱长最小应为325+=． 当这三种木块拼成的正方体的棱长是5时,体积是555125⨯⨯=．要想使三种正方体的总数最小,则体积较大的木块应尽可能多．由于棱长为5,所以其中丙种木块只能有1个．有了1个丙种木块后,乙种木块最多可以有4217++=块．丙种木块的体积是27,乙种木块的体积是8756⨯=,余下的体积为125275642--=．所以还需要甲种木块42142÷=块． 所以共需要至少174250++=块．【答案】50【例 20】 用112⨯⨯、113⨯⨯、122⨯⨯三种小木块拼成333⨯⨯的正方体．现有足够多的122⨯⨯ 的小木块,还有14块113⨯⨯的小木块,如果要拼成10个333⨯⨯的正方体,则最少需要112⨯⨯的小木块________块．【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 112⨯⨯、113⨯⨯、122⨯⨯三种木块的体积分别为2,3,4,其中只有3为奇数,2,4都是偶数．因为33327⨯⨯=,体积为奇数,所以每个333⨯⨯的正方体中,113⨯⨯的木块要有奇数块．当只用1块113⨯⨯时,剩下的体积为24,但无法完全用122⨯⨯完成,还需要112⨯⨯的小木块,由于24和4都是4的倍数,所以112⨯⨯的小木块的体积和也是4的倍数,至少要用2块112⨯⨯的小木块．检验可知用1块113⨯⨯的小木块、2块112⨯⨯的小木块和5块122⨯⨯的小木块可以拼成333⨯⨯的正方体．当用3块113⨯⨯的小木块时,体积剩下18,可以再用4块122⨯⨯的小木块和1块112⨯⨯的小木块拼成．当用5块113⨯⨯的小木块时,体积剩下12,此时可以再用3块122⨯⨯的小木块拼成,即此时不需要用112⨯⨯的小木块拼成．为了尽量少用112⨯⨯的木块,所以要尽量多用其他木块．而一共只有14块113⨯⨯的木块,所以可以在8个333⨯⨯的正方体中各用1块113⨯⨯的木块,另2个333⨯⨯的正方体各用3块113⨯⨯的木块；也可以在9个333⨯⨯的正方体中各用1块113⨯⨯的木块,另1个333⨯⨯的正方体用5块113⨯⨯的木块．前者需要281218⨯+⨯=个,后者需要2918⨯=个,数量相同,所以最少需要112⨯⨯的木块18块．【答案】18【例 21】把一个长方体形状的木料分割成3小块,使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米,宽为12厘米,高为9厘米．分割时要求只能锯两次,如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外,还可有其他不同的分割方法,请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答【解析】分割方法很多,如图3,给出以下9种分割方法：图4【答案】答案不唯一,给出以下9种分割方法：图4【例 22】如图,把正方体用两个与它的底面平行的平面切开,分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5时,用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯,六年级,初赛【解析】由于分出的三个长方体的底面积相同,所以体积之比等于三个长方体的高之比,设正方体的棱长为1,三个长方体的高分别为1h,2h,3h,所以1231h h h++=,根据“分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5”得123(24):(24):(24)3:4:5h h h+++=,而123123(24)(24)(24)64()10h h h h h h+++++=+++=,所以有132410345h+=⨯++,解得118h=,同理得213h=,31324h=,所以1231113::::3:8:138324h h h==,即体积比为3:8:13。