专题二机械能守恒与能量守恒［高考要求］本专题涉及的考点有：重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、能量转化及守恒定律都是历年高考的必考内容，考查的知识点覆盖面全，频率高，题型全。

机械能守恒定律、能的转化和守恒定律是力学中的重点和难点，用能量观点解题是解决动力学问题的三大途径之一。

《考纲》对本部分考点要求为Ⅱ类有三个。

考题的内容经常与牛顿运动定律、曲线运动、动量守恒定律、电磁学等方面知识综合，物理过程复杂，综合分析的能力要求较高，这部分知识能密切联系生活实际、联系现代科学技术，因此，每年高考的压轴题，高难度的综合题经常涉及本专题知识。

它的特点：一般过程复杂、难度大、能力要求高。

还常考查考生将物理问题经过分析、推理转化为数学问题，然后运用数学知识解决物理问题的能力。

所以复习时要重视对基本概念、规律的理解掌握，加强建立物理模型、运用数学知识解决物理问题的能力。

由于新课程标准更注重联系生活、生产实际，更重视能源、环保、节能等问题，因此，能量的转化及其守恒很有可能在新课程的第一年高考中有所体现，师生们应引起足够的重视。

［知识体系］［知识点拨］1、机械能守恒定律机械能守恒的条件：系统内只有重力（或弹力）做功，其它力不做功（或没有受到其它力作用）①从做功的角度看，只有重力或弹簧的弹力做功或系统内的弹力做功，机械能守恒。

②从能量的角度看，只有系统内动能和势能的相互转化，没有机械能与其他形式能量之间的转化，机械能守恒。

机械能守恒的方程：①初始等于最终：2211p k p k E E E E +=+ ②减少等于增加：P k E E ∆-=∆用第二种方法有时更简捷。

对机械能守恒定律的理解：机械能守恒定律是对一个过程而言的，在做功方面只涉及跟重力势能有关的重力做功和跟弹性势能相关的弹力做功。

在机械能方面只涉及初状态和末状态的动能和势能，而不涉及运动的各个过程的详细情况；因此，用来分析某些过程的状态量十分简便。

机械能中的势能是指重力势能和弹性势能，不包括电势能和分子势能，这一点要注意。

思维误区警示：对于一个系统，系统不受外力或合外力为零，并不能保证重力以外其他力不做功，所以系统外力之和为零，机械能不一定守恒，而此时系统的动量却守恒（因为动量守恒的条件是系统的合外力为零）。

同样，只有重力做功，并不意味系统不受外力或合外力为零。

2、能量守恒定律（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移互另一个物体，在转化和转移的过程中其总量保持不变。

（2）对能量守恒定律的理解：①某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等。

②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

（3）能量转化和转移具有方向性 第二类永动机不可制成，它不违反能量守恒定律，只是违背了能量转化和转移的不可逆性。

4、求各变化量（△E k 、 △E P 、△E 机）的常用方法： 常用方法求△E kΔE k =E K2-E K1ΔE k = W 合 通过求合外力做功求动能的变化量（更常用）求△E P△E P =E P2-E P1ΔE P = W G =mgΔh 通过求重力做功求ΔE P ； 当W G 做正功时，E P 减小；当W G 做负功时，E P 增加( 常用）求△E 机△E 机=E 2-E 1ΔE 机=W G 其它 通过求除重力以外的其它力做功求机械能的变化量（更常用）5、重力做功的特点： W G =E P1-E P2=mgΔh 重力做功与路径无关重力做正功，重力势能减少，重做负功，重力势能增加注意：ΔE P 和重力做功与参考平面的选择无关（但重力势能与参考平面的选择有关）［专题探究］（一）利用机械能守恒定律求解抛体运动问题案例1、从离水平地面高为H 的A 点以速度v 0斜向上抛出一个质量为m 的石块，已知v 0与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，求：(1)石块所能达到的最大高度 (2)石块落地时的速度命题解读：本题研究抛体运动中的机械能守恒定律。

斜抛运动的水平分运动是匀速直线运动，因此石块在最高点的速度是抛出初速度的水平分量。

石块只受重力的作用，机械能守恒。

分析与解：石块抛出后在空中运动过程中，只受重力作用，机械能守恒，作出石块的运动示意图（1）设石块在运动的最高点B 处与抛出点A 的竖直高度差为h ，水平速度为v B ， 则v B =v O x =v 0cos θ石块从A 到B ，根据机械能守恒定律ΔE k 减=ΔE p 增得：mgh =21mv 02-21mv B 2 联立得：gv g v v h 2sin 2)cos (02020θθ=-= 则石块所能达到的（距地面）最大高度为：H +h =H +gv 2sin 0θ（2）取地面为参考平面，对石块从抛出点A 至落地点C 的整个运动过程应用机械能守恒定律得21mv C 2=21mv 02+mgH 解得石块落地时的速度大小为：v C =gH v 220+ 变式训练：某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。

弧形轨道末端水平，离地面的高图1度为H 。

将钢球从轨道的不同高度h 处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s ． （1）若轨道完全光滑，s 2与h 的理论关系应满足s 2＝ （用H 、h 表示）。

（2）该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示：请在坐标纸上作出s 2--h 关系图．。

（3）对比实验结果与理论计算得到的s 2--h 关系图线（图中已画出），自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速度 （填“小于”或“大于”）理论值．（4）从s 2--h 关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是 ． 动能，或者是弧形轨道的摩擦力太大。

解析：（1）由钢球在弧形槽上运动，机械能守恒：221mv mgh =离开弧形槽后，钢球做平抛运动：水平方向：,ts v =竖直方向：221gt H =联立解得：s 2=4Hh（2）由实验数据作图，得到一条通过原点的斜率比理论图线小的直线。

（3）实验图和理论图比较可以发现，小球从相同高度下落，对应的s 实<s 理，又s ∝v ，说明自同一高度静止释放的小球，水平抛出的速率小于理论值。

（4）实验中速率差十分明显，可能是一部分重力势能转变成钢球的转动动能，或者是弧形轨道的摩擦力太大的原因。

（二）利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题案例2、 如图所示，一个质量为m 的物体自高h 处自由下落，落在一个劲度系数为k 的轻质弹簧上。

求：当物体速度达到最大值v 时，弹簧对物体做的功为多少?命题解读：弹簧的弹力是变力，弹力做功是变力做功，本题由于形变量不清楚，不能运用F —l 图象求弹力做的功；只能根据机械能守恒定律先求解出弹性势能的变化，再运用功能关系求解弹力做的功。

同时要注意物体在平衡位置时动能最大，运动的速度最大。

分析与解：在物体与弹簧相互作用的过程中，开始时弹力较小，故物体向下加速，这时弹力F 逐渐增大，物体的加速度a 逐渐变小，当重力与弹力相等时，物体的速度刚好达到最大值v 。

设物体向下的速度v 最大时，弹簧的形变量即压缩量为x ，则平衡时：mg =kx 物体与弹簧组成的系统只有重力、弹力做功，故系统的机械能守恒。

当物体速度达到最大v 时，弹簧的弹性势能为E p ，由机械能守恒定律有：图mg (h +x )=21mv 2+E p 由上面两式可得：E p =mgh +k mg 2)(-21mv 2，由功能关系可知，弹簧弹性势能的增加量与弹簧力做功的数值相等。

故弹簧对物体所做的功为：W =-E p =21mv 2-mgh -k mg 2)( 变式训练：变式1、如图所示的弹性系统中，接触面光滑，O 为弹簧自由伸长状态。

第一次将物体从O 点拉到A 点释放，第二次将物体从O 点拉到B 点释放，物体返回到O 点时，下列说法正确的是：（ ）A 、弹力做功一定相同B 、到达O 点时动能期一定相同C 、物体在B 点的弹性势能大D 、系统的机械能不守恒解析：弹簧的形变不同，弹力做功不同，A 错。

弹力做功不同，弹性势能的减少量不同，由机械能守恒定律知，物体回到O 点的动能不同，B 错误。

物体在B 点形变最大，弹性势能最大，C 正确。

系统只有弹力做功，机械能一定守恒，D 错误。

正确答案选C 。

变式2、如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , A 、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升.若将C 换成另一个质量为（m 1+ m 3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g解析： 开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为1x ，有11g kx m =挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为2x ， 有22kx m g =B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为312112=m ()()E g x x m g x x ∆+-+C 换成D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得311311211211()()()()2222m m υm υm m g x x m g x x E ++=++-+-∆ O A B联立解得211213()(2)2m m m g υ=m m k++（三）利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题案例1、如图所示，质量均为m 的小球A 、B 、C ，用两条长为l 的细线相连，置于高为h 的光滑水平桌面上，l >h ，A 球刚跨过桌边.若A 球、B 球相继下落着地后均不再反跳，则C 球离开桌边时的速度大小是多少?命题解读：本题考查系统机械能守恒定律。

对每个小球而言，由于绳子的拉力做功，每个小球的机械能不守恒。

而且只能分段运用机械能守恒定律求解。

运用动能定理也能求解，但拉力要做功解题就比较麻烦。

分析与解：当A 小球刚要落地时，三小球速度相等设为v 1，三个小球机械能守恒。

2132123mv mgh mgh += 解得：321ghv =当B 球刚要落地时，B 、C 机械能守恒。

B 、C 有共同速度，设v 222212212212mv mgh mv mgh +=+ 解得：352gh v = 可见：C 球离开桌边时的速度大小是352gh v =变式训练：变式1、半径为R 的光滑圆柱体固定在地面上，两质量分别是M 和m 的小球用细线连接，正好处于水平直径的两端，从此位置释放小球，当m 运动到最高点时，对球的压力恰好为零，求此时M 的速度和两小球的质量之比。