O
=60°, vA= 450m/s, = 0.0002 s
求：（1）弹丸入射后木板的角速度； （2）O 处碰撞力的平均值。
解：取系统为研究对象，由于外碰撞冲量对 O轴的矩为零，因此，系统的动量矩守恒。
mAvA
sin
l 2
0
J
O
mAvC
l 2
其中:
JO
1 3
mBl 2 ,
vC
l
2
vA C
A
Iy
O
Ix
考虑到碰撞前后，两飞船在y、z方向上的速度不变，即
vAy＝0.03m/s，vAz＝ 0.02 m/s，vBy＝vBz＝0
最后得到碰撞后，两飞船的速度分别为
vA＝0.095i 0.03 j 0.02k (m/s)， vB＝ 0.285i (m/s)
vAx＝0.095m/s ，vBx＝0.285m/s
m
A
vA2
1 2
mB
vB2
碰撞前、后系统动能的变化
T＝T1－T2
1 2
mA vA
vA vA
vA
1 2
mB vB
vB
vB
vB
vA
vA
1
k mA
mA mB
vA
vB
vB
vB
1
k mA
mA mB
vA
vB
T＝ 1 2
1
k mAmB
mA mB
vA
vB
vA
vB
vA
vB
碰撞前、后系统动能的变化
T＝ 1 2
★ 几个工程实际问题
mA
vA
B A
两个飞船对接后速度？
vB
mB
★ 几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
★ 几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
★ 几个工程实际问题
击球手的手握在哪里 所受的撞击力最小？
★ 几个工程实际问题
请注意这一装 置的功能，与碰 撞有没有关系？
▼ 碰撞冲量——撞击力在碰撞时间内的累积效应。
F/N
Fmax
I
t2
Fdt
t1
I
t2
Fdt
t1
t/s
研究碰撞问题的两点简化
（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，普通力 （重力、弹性力等）的冲量可忽略不计。
（2）在碰撞过程中，由于时间非常短促，物体的 位移可忽略不计。
上述的两点简化是在碰撞过程中所提出的假说，因此 在具体问题的分析中，一定要分清碰撞过程和一般过程； 分清运动的三个阶段，即撞前的运动，碰撞阶段和撞后 的运动。
F
I1
tm
Fdt
t1
变形阶段的碰撞冲量；
I1 I2
t t1 tm t2
I2
t2
Fdt
tm
恢复阶段的碰撞冲量。
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
F
I1 I2 t1 tm t2
mA I1 I1
mB
变形阶段
vA vAB
vB vAB
t
mA I2 I2
mB
恢复阶段
vAB v'A
vAB v'B
k I2 vB vA I1 vA vB
解得碰撞后两个球的速度分别为
vA
vA
1
k mA
mA mB
vA
vB
vB
vB
1
k mA
mA mB
vA
vB
vA A
B vB
AB
vAB A v'A B v'B
碰撞前系统的总动能 碰撞后系统的总动能
T1
1 2
m
A
v
2 A
1 2
mB vB2
T2
1 2
k
I2 I1
vrn vrn
vrn —碰撞后两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
vrn —碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度
● 对于确定的材料，恢复系数为常量。
● 这一结果表明：对于确定的材料，不论碰撞前后物 体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速 度大小的比值是不变的。
● 恢复系数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也 描述了物体变形的恢复程度。
3. 碰撞时定轴转动刚体的动力学方程
J z
J z
M
z
(
I (e) i
)
4. 碰撞时平面运动刚体的动力学方程
mvC x
mvCx
I (e) ix
mvC y
mvCy
I (e) iy
JC JC M C (Ii(e) )
注意：以上各方程式中均不计普通力的冲量！
§15-3 恢复系数
考察两个球的正碰撞的变形阶段与恢复阶段
● 碰撞主要研究碰撞物与被碰撞物在碰撞后的 运动效应。
铁锤打击钢板
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.00044s;
撞击力峰值 1491 N，
静载作的335倍。
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
据有关资料介绍，一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞， 如果飞机速度是 800km/h ，碰撞力可高达 3.55×105N ， 即为鸟重的 2万倍 ！这就是航空上所谓“鸟祸”的原 因之一。
★ 撞击力的瞬时性——撞击力在很短的时间间隔内发 生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快衰减。
碰 撞 Collision
※ 碰撞现象 ·碰撞力 ※ 几个工程实际问题 ※ 动力学普遍定理在碰撞问题
中的应用 ※ 恢复系数 ※ 碰撞问题举例 ※ 撞击中心 ※ 结论与讨论
§1 碰撞现象·碰撞力
碰撞－物体与物体之间，在极短的时间内，发生 有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的 撞击力的动力学过程。
1 (1 ml2 )2 0 mg l
23
2
3g
l
（2）碰撞阶段
A
IA
分别取AB杆和圆球为研究对象， 进行分析计算。对杆AB，有
′
J A (J A) Il
1 ml2 ( ) Il
3
B
I I'
对球C，有
mvC 0 I
根据恢复系数的定义，有
k vC l l
vC
1 k 4
C vC
3gl
mivi
Ii(e)
Ii(i)
质点系在碰撞开始和结束 时动量的变化，等于作用于 质点系的外碰撞冲量的主矢。
2. 用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
由质点系动量矩定理：
d dt
LO
MO (Fi(e) )
ri
Fi(e)
dLO ri Fi(e)dt ri dIi(e)
LO2
vB v v vB
k I2 vB vA I1 vA vB
对于球A与固定平面的正碰撞情形
k I2 vB vA I1 vA vB
AA
vB vB 0
， k I2 vA I1 vA
h1 h2
vAv'A
vA 2gh1 , vA 2gh2
B
k h2
h1
恢复系数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系
★ 几个工程实际问题
这与碰撞有 关系吗？
§2 用于碰撞过程的基本定理
1. 用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
质点：
t
mv mv 0 Fdt I
质点系：
mivi mivi
I (e) i
I (i) i
mivi
mivi
I
(e) i
mvC
mvC
I (e) i
I——碰撞冲量
mivi
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
mB
mA «mB T T1
锤头的动能绝大部分转变为 被锻造金属的塑性变形能。
汽锤传递的动量一定时，铁 砧质量mB越大，其速度v′B 越小。
mA »mB T 0
锤头的动能绝大部分转变为 锤头与桩一起运动的动能。
打桩传递的动量一定时，桩 的质量mB越小，其速度v′B 越大。
请注意：
1、乒乓球在运动的过程中发生了几次碰撞？ 2、这种碰撞具有什么特点？
1、 主要是来球和回球方向两次碰撞。
2、 摩擦力的作用，使球发生旋转，回球碰撞台面后的速度大于 球拍击出的速度。
来球与球拍的碰撞－挥拍击来球， 球受 FN1 和 F1 两个力。 FN1 为法向正 压力； F1 为摩擦力。而且，F1> FN1 。 碰撞后，球在前进的同时发生旋转。
1
k
mAmB mA mB
vA
vB
vA
vB
vA
vB
k I2 vB vA I1 vA vB
T＝
2
mAmB mA mB
1 k2
vA vB 2
两种特殊情形下，碰撞前、后系统动能的变化
完全弹性碰撞 —— k=1, T=T2－T1=0。 碰撞过程中没有能量损失。
塑性碰撞 —— k=0, 动能损失为
不考虑对接处的摩擦，二飞船在y、z方向上的速度分量
保持不变；在x方向上二飞船动量守恒：
mAvAx mBvBx mAvAx mBvB x
同时利用恢复系数与速度的关系式
k vB vA vA vB
将mA、mB、vAx、vBx和k值代入后，解得
vAx＝0.095m/s ，vBx＝0.285m/s