《二元关系》部分习题参考答案
3.5 等价关系和划分（P129）
第2题
证明：∀x∈A，<x，x>∈R；∀<x，y>∈R，<y，x>∈R；∀<x，y>∈R，<y，z>∈R，则有<x，z>∈R，所以R是自反的、对称的、传递的，因而R 是等价关系。

第3题
解：(1)A上最大等价关系是全域关系，故其元素个数为n2个。

(2)A上最大等价关系的秩是1。

(3)A上最小等价关系是相等关系，故其元素个数为n个。

(4)A上最小等价关系的秩为n。

第5题
解：(a)不是等价关系。

因为A⨯A-R1不具有自反性。

(b)也不是等价关系。

也不具有自反性。

(c)是等价关系。

(d)不是等价关系。

(e)不是等价关系。

第7题
解：(a)R=“<”不是等价关系，因为<不具有自反性和对称性。

R诱导的等价关系全域关系。

(b)它不是等价关系。

因为<0,0>∉R，所以不具有自反性。

R诱导的等价关系是R⋃<0,0>。

(c)它不是等价关系。

因为<0,0>∉R,故它不具有自反性，有<0,1>∈R,但<1,0>∉R，故它不具有对称性。

R诱导的等价关系是：
{<a，b>|(a≥0∧b≥0)∨(a≤0∧b≤0)}
(d)它不是等价关系。

因为<0,0>∉R，所以不具有自反性。

(e) 它不是等价关系。

因为R不具有对称性。

R诱导的等价关系为I上的全域关系。

第10题
解：A的所有划分如下：
π1={{a，b，c}} π2={{a}，{b，c}}
π3={{b}，{a，c}} π4={{c}，{a，b}} π5={{a}，{b}，{c}}
<P，细分>的哈斯图为：
第11题
解：(a) π1所诱导的等价关系的序偶为：
R1={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>,<c,b>,<c,c>,<d,d>} (b) π2和π3诱导的等价关系分别是：
R2={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}
R3=A⨯A
(c){{ π1, π2, π3},细分}的哈斯图为：
第12题
解：(a)如果π1=π2，则π1⋃π2是A的划分，其他情况不是A的划分。

(b)如果π1=π2，则π1⋂π2是A的划分，其他情况不是A的划分。

(c) 如果π1⋂π2=∅，则π1-π2是A的划分，其他情况不是A的划分。

(d)因为[π1⋂π2-π1]⋃π1=π1，所以是A的划分。

第16题
解：(a)其哈斯图为：
(b)(A/R1)∙(A/R2)诱导的等价关系为R4：aR4b⇔a≡b(mod 15)其秩为15。

(A/R1)∙(A/R3)诱导的等价关系为R3，其秩为6。

(A/R1)+(A/R2)诱导的等价关系为I⨯I，即全域关系，其秩为1。

(A/R1)+(A/R3)诱导的等价关系为R1，其秩为3。