这个公式是皮克(奥地利数学家乔治·尼古拉斯·亚历山 大·皮克George Alexander Pick（1859～1943))在1899年给 出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，
皮克定理说明了其面积S和内部格点数目N、多边形边界上的格 点数目L的关系：
的格点数，那么有 S 2 N L 2
A
即：格点多边形面积等于图形内部所包含
格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
C
B (a)
B
21
巩固：
1、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴” 成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
22
2、把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然
D
添补法：把不规则图形周围添
补上规则的小图形转化一个规
则的大图形，使总面积便于计
算。
5
（1）求下列多边形的面积
6
（2）不妨设S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格 点数，L--它的边上的格点数，那么S、N、L三者之间有没 有关系呢？
图形序号 S N L
① 104
② 2.5 1 5
③
42 6
S N L 1 2
13
例3、（1）计算图中格点多边形的面积
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
14
例3、（2）计算图中格点多边形的面积
15
例3、（3）计算图中格点多边形的面积
⑴
⑵
⑶
⑷
16
已知下面的方格纸中，每个小正方形的边长为1．你能求出三 个图形象分别占了多少面积吗？
17
五、小结：共同交流课内活动体会
• 1、认识格点多边形 • 2、识别凹凸多边形 • 3、归纳格点多边形面积的求法（割补法、皮克定理——
②
43 4
③ 4.5 3 5
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
11
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L 之间的关系 活动六 归纳总结：格点多边形中S与L之间的关系
S N L 1 2
12
通过上面的探究，我们发现，这种格点多边形的面积计 算起来很方便，只要数一下图形边线上的格点的数目及图形 内部的格点的数目，就可用公式算出。
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
7
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动一 探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系

A
D
B
C
①
AA
D
B
C
B
C
③
②
图形序号 S N L
①
10 4
②
206
③
30
8
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
8
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
数学拓展课
————数格点，算面积
1
一．概念认识
A E
B
C
D
1、如图，网格纸上画着纵、横两组 平行线，相邻平行线之间的距离相等， 这两组平行线的交点称为格点（如图中 的点A、B、C等）。显然，每一个小方格 就是一个面积单位。
如果一个多边形的顶点都在格点上， 那么这个多边形叫做格点多边形(如图中 的多边形ABCDE)
A
图形序号 S N L
B
F
B ①
C
C
EB
D
②D
C③
①
6 2 12
②
4 26
③ 3 21
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
10
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动四 探究N=3的格点多边形中S与L之间的关系
A B
C ①
AD D
A
C
D
DB
②B
C③
图形序号 S N L
①
53 6
后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已 知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积 是______平方分米．
23
当我听别人讲解某些数学问题时，常觉得很难理 解，甚至不可能理解。这时便想，是否可以将问题化 简些呢﹖往往，在终于弄清楚之后，实际上，它只是 一个更简单的问题。
C
E D
B Q
C
E D
20
举一反三： 2、三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，
所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的
点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边
形的面积同样有它的计算公式：
如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上
活动二 探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系
D
A
C
AD C
C 图形序号 S N
L
B
B
①
21 4
①
②
A
③
B
② 2.5 1 5
③ 4.5 1 9
S、N、L三者之间有 怎样的关系呢？
9
二、探究格点多边形的面积S与内部、边上格点数(N、 L)的关系
活动三 探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系
A
D
A
2
一．概念认识
2、凸多边形与凹多边形：如右图a,把多边形的任何 一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线 的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形。而图b中的 多边形不具备这种性质,称为凹多边形.
a
b
3
例1、判断下列图形哪些是格点多边形？
√⑴
⑵
⑶
⑷
4
例2、你会求图中格点多边形的面积吗？
A B
C
E 分割法：把不规则的大图形分 割转化为若干规则的小图形；
——希尔伯特
24
再见！
25
数格点算面积） • 4、会数格点多边形的内部及边上的格点数。
18
下图中每个数学味正方形的面积都是1，那么图中这只 “狗”所占的面积是多少？
19
举一反三：
1、(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面 积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面 积．
A
PF
A
PF
B Q