数字在内
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确定有效数字位数时应遵循的原则
[1]数字中的“0”可能是有效数字，也 可能是非有效数字 （1）数字前的“0”只起定位作用，不 是有效数字； （2）数字中间的“0”都是有效数字； （3）数字后面的“0”视具体情况而定；
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确定有效数字位数时应遵循的原则
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（二）乘除法
几个数据相乘除，积或商有效数字 的保留以有效数字位数最少者为准， 即取决于相对误差最大的数据位数； 如：0.0121×25.64×1.05782 ＝0.0121×25.6×1.06 ＝0.328
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• （三）对数运算中，对数的有效数字只计 小数点后的数字，即有效数字位数与真数 位数一致；
i
d: 总体平均偏差 d
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i 1
xi m
n
n
d 0.797
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正态分布 (Normal Distribution Curve) 通过对测量值分布的抽象与概括，得到正 态分布的数学模型：正态分布概率密度函数式
1 y f ( x) e 2 ( x m )2 2 2
2 μ(0) x(x- μ)
第2章 分析化学中的误差及数据处理
2.1 分析化学中的误差
2.2 有效数字及其运算规则 2.5 显著性检验 2.6 回归分析法 2.7 提高分析准确度的方法
2.3 分析化学中的数据处理
2.4 可疑值取舍
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1
2.1 分析化学中的误差
§2.1.1 误差及其产生的原因
误差(error)客观上难以避免。 在一定条件下，测量结果只能接近于真实值，而不能 达到真实值。
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§ 2.1.3 误差的传递
系统误差的传递公式 a. 加减法 R=mA+nB-pC b. 乘除法 R=mA×nB/pC c. 指数运算 R=mAn d. 对数运算 R=mlgA
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ER=mEA+nEB-pEC ER/R=EA/A+EB/B-EC/C


ER/R=nEA/A
系统误差：可校正消除 随机误差：不可测量，无法避免，可用统计方法研究
1、测量值的频数分布
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某试样中镍的含量
1.60 1.67 1.67 1.64 1.58 1.64 1.67 1.62 1.57 1.60
1.59
1.64
*1.74
1.63
1.651.67
绝对误差: 测量值与真值间的差值, 用 E表示 误差 E = x - xT 相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示 Er =E/xT = x - xT /xT×100％
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真值：客观存在，但绝对真值不可测
理论真值 约定真值
相对真值
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例： 甲：x=3.3460g xT=3.3462g 则:Ea甲= – 0.0002g Er甲= – 0.006%
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标准偏差：s
s
相对标准偏差：RSD
x x
n i 1 i
2
n 1
s RSD 100% x
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准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
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x4
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准确度与精密度的关系 1.精密度好是准确度好的前提; 2.精密度好不一定准确度高
系统误差!
准确度及精密度都高－结果可靠
主观误差: 个人误差
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随机误差: 又称偶然误差
不可校正，无法避免，服从统计规律
不存在系统误差的情况下，测定次数越多其 平均值越接近真值。一般平行测定4-6次 过失
由粗心大意引起，可以避免的
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4
§ 2.1.2 准确度和精密度
准确度: 测定结果与真值接近的程度，用误差衡量。
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极值误差 最大可能误差 R=A+B-C R＝AB/C ER=|EA|+|EB|+|EC| ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|
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2.2 有效数字及运算规则
2.2.1
有效数字
概念: 分析工作中实际能测得的数字，包
括全部可靠数字及一位不确定
其函数图象即正态分布曲线 以X= μ为对称轴，当X= μ时，f(x)最大概率密度 (说明测量值落在μ的领域内的概率)最大. μ决定 曲线横轴的位置.
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(σ相同，μ1不等于μ2)
μ1
μ2
σ相同而μ不同时曲线形态
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σ2> σ1
1
说明：σ愈大， x落在μ附近的概 率愈小,精密度 差，σ愈小，x落 在μ附近的概率 愈大，精密度好
[2]对数与指数的有效数字位数按尾数计 （即小数部分数字的位数）。 [3]数据的第一位数大于等于8 的, 可按多 一位有效数字对待 。 [4]自然数可看成具有无限多位数(如倍数关 系、分数关系)；常数亦可看成具有无限 多位数。
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练习题：下列数据含有几位有效数字？
• • • • • • • • （1）0.003080 （2）6.023×10-10 （3）1.9230 （4）0.002％ （5）pH=12.68 （6）2600 （7）0.40％ （8）0.0540g
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例
NaOH
H2O+CO2
CaCO3 2HCl CaCl2 H2CO3 HCl(过量 )
w CaCO 3 = 1 0.1000 25.00 0.1000 24.10 M ( CaCO3 ) 2 ms 103

0.1000 25.00 0.1000 24.10 100.1/ 2
等的有效数字可取无 • （四）常数5， 2，e， 限多位，即在计算过程中需要几位就写几 位；
• （五）表示准确度和精密度时，只取 1~2 位有效数字即可，（最多取两位有效数 字）。
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§2.2.4 分析化学过程及分析结果的表示
分析化学过程 1) 试样的采取、处理与分解 2) 分离与富集 3) 分析测定 4) 分析结果的计算和评价
ER=0.434mEA/A
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随机误差的传递 a. 加减法 R=mA+nB-pC b. 乘除法 R=mA×nB/pC c. 指数运算 R=mAn d. 对数运算 R=mlgA
sR2=m2sA2+n2sB2+p2sC2 sR2/R2=sA2/A2+sB2/B2+sC2/C2 sR/R=nsA/A sR=0.434msA/A
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数据修约还必须一次完成，不能分次累积进行 例：2.54546→2.5 不能2.54546→2.5455→2.546→2.55→2.6
运算时可多保留一位有效数字进行
例 下列值修约为四位有效数字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851
总体标准偏差σ 无限次测量；单次偏差均方根 样本标准偏差 s 样本均值 n→∞时， →μ ， s→σ
x m
i 1 i
n
2
n
2 x x i i 1 n
S
n 1
相对标准偏差（变异系数RSD）
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x
S RSD 100 % x
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§ 2.3.1 随机误差的正态分布
偏差: 测量值与平均值的差值，用 d表示
∑ di = 0
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x
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d=x-
平均偏差： 各单个偏差绝对值的平均值
d

i 1
n
xi x n
相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值
d 相对平均偏差 % 100% x
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x
i 1
n
i
x 100%
nx
mB B mS
液体试样中待测组分的含量通常以物质的量浓度、 质量摩尔浓度、质量分数、体积分数、摩尔分 数、质量浓度表示
气体试样通常以体积分数或质量浓度 表示。
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正确地表示分析结果
含量>10％的测定，要求结果有四位有效数字 含量1～10％的测定，要求结果有三位有效数字 含量<1％的测定，要求结果有两位有效数字
乙：x=0.3460g xT=0.3462g 则:Ea乙= – 0.0002g Er乙= – 0.06%
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甲. 乙Ea(绝对误差)相同，但Er(相对误 差)差10倍． 说明当Ea一定时，测定值愈大，Er愈小。
相对误差更能体现误差的大小
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精密度: 平行测定结果相互靠近的程度，用偏差衡量。
x
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随机误差的正态分布
1 ( x m ) 2 / 2 2 y f ( x) e 2
离散特性：各数据是分散的，波动的
: 总体标准偏差

2 x m i i 1
n
n
m
集中趋势：有向某个值集中的趋势
m: 总体平均值
1 n lim x m n n i 1
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0.324 7 0.324 8 0.324 8 0.324 8 0.324 9