第8章 本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1．物理定律①Euler 描述法质量守恒：div 0ρρ+=v 动量守恒： div T f a ρρ+= 动量矩守恒：T T T =局部能量守恒：div T :D u r h ρρ=+- 熵产率原理：()grad T :D h /i TsTs u T T ρρρ=+--⋅≥0② Lagrange 描述法：可用S 表示，也可以用ˆT表示上述公式 2．几何关系式T 1()2=+D G G 其中grad G v =T grad F x F GF E F DF===以上均为几何量及其之间的描述3．本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）①应力应变关系（材料力学中） ②热传导过程（热力学中） 本构方程式的建立：a ）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用特定材料。

b ）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。

C ）原理：从原理出发，研究本构方程→本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。

4．初始条件和边界条件。

以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。

§8.1 本构方程的概念1．材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）） 材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应） 材料的力学行为复杂。

唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。

不管响应产生的机制。

如轴向拉压：P -δ图。

材料的破坏的二个最基本形式：① 韧性破坏（有明显的变形） ② 脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。

（这些条件包括：温度、应力状态等）。

如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。

通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的。

影响（决定）材料力学性质的主要因素有：1）材料的固有的成份、组成、内部构造等微观因素有关。

例如，一般的铸铁是脆性的，但球墨化可使其增韧；而钢中掺碳可使其增强变脆。

利用这一点可以人工改善材料性质，甚至设计材料。

目前自然界材料、普遍高强、低韧，人们要保持其强度，但要提高韧度。

形成一门科学性——材料科学-力学，较成功的材料为：陶瓷增韧。

2）材料的力学行为通常通过对构件进行实验，构件的尺寸、形状会影响材料的力学性质。

如岩石实验，用一块体作实验，实验结果严格地说应为结构的响应，并非真正的材料的响应，构件越大，包含缺陷越多。

3）外部环境：周围介质、温度、辐射、磁场。

4）加载方式：速度、交变、应力状态。

高速加载带粘性，交变使材料变脆，三向等拉变脆，三向等压变韧。

裂纹尖端三向等拉。

5）时间因素：老化。

理论上说：将上述因素作为参数，来确定一个区分韧性破坏和脆性破坏区的过渡区（但实际上要做到是很困难的，甚至不可能的）。

因此，要描述材料的力学性质是非常困难的，到目前为止，不可能用一个函数来直接、全部描述材料性质。

目前可行的办法：根据各种材料（常见材料），在一定条件下的主导行为（主要表现、性质、抓主要矛盾）进行分类。

建立相应的模型（模拟原型），及对应的理论。

每一个模型不是一种或一类材料力学性质的直接和全部的描述，而是多种材料在各自一定条件下共同主导行为的模拟。

这种在总体唯象方法上建立起来的材料性质的分类法称为流变学分类法，1930年由Bingham提出的，在50年代得到重要的发展。

例如：较一个典型的单元体，从它受干扰的响应分为：（单元体是一个微小系统，简称为系统）。

一、长程系统：材料的响应不仅与该系统的状态变量的现时值及其其全部历史有关，而且与物质其它质点（单元体）的状态变量及全部历史有关，甚至认为与体积力有关。

（最复杂的材料性质）。

二、短程系统：材料的响应与本单元体的状态变量的现时值及其全部历史有关，与其它质点的状态参数无关。

力学中现有的流变模型大我数属短程系统。

短程系统分为两类：①梯度形：不仅与上述因素有关，而且与状态变量的梯度有关。

如：与ε，σ有关，且与εσ,x x∂∂∂∂有关。

②非梯度形：与状态变量梯度无关。

（现学的本构方程属于这类）。

短程系统：①老化；②非老化。

力学中研究的对象为：短程，非梯度型，非老化。

干扰→引起响应)(蠕变后效即时的移去干扰→消减响应不可逆响应部分可逆响应部分于是可得出以下的分类框图（未考虑材料的损伤）通常将（热）弹性、塑性和粘性视作基本的流变模型。

其实材料在一定条件下，一般地可用上述三种模型之一或其组合来模拟。

如：弹塑性、粘弹性、粘塑性、弹-粘塑性等。

如上所述，这种流变分类法不是固有的，而是一种人为的分类方法，它只是提供材料一般性质的参考框架。

给定材料的行为，只相对于预期的用途和期望的精度而言，才可用一种流变模型来表示。

例如室温下的钢、按其设计用及期望精度可被视为下列模型：①线弹性的——对于结构的静力分析（小变形）②粘弹性的——对于振动阻尼分析③刚塑性的——对于塑性极限分析（土木）④弹性强化的——对精确计算残余变形⑤弹粘塑性的——对应力松驰分析⑥韧性损伤的——对于求加工限度（成型极限，分几次成型）⑦疲劳损伤的——对于估计构件寿命时。

2．状态变量（参数）力学-热学系统的状态要有一定的变量来描述或确定，称为状态变量。

状态变量变化必定引起或对应于状态变化，称为过程。

状态变量分两类：①独立的状态变量；②可用独立状态变量来表示的，称为状态函数。

体积V、应变（ε）、温度（T）称为独立变量，压力p，应力（T）、内能（u）或自由能（ψ），熵（s）、热流矢（h）称为状态函数。

状态变量之间的函数关系系，称为本构方程。

在空气动力学中称状态方程。

应变、组分浓度等称为运动性状态变量，与绝对温度一起构成为独立状态变量。

也可以应力作为独立状态变量。

相应地应变为状态函数。

广义虎克定律中可用应变表示应力，反之也行。

状态函数中有一类特殊函数，称为态函数，即此类函数只与独立状态变量的值有关，而与变化的过程（历史）无关，具体地说，与独立的状态变量的变率ε、T无关，e，ψ、s 等是态函数，它们的增量是数学中的全微分。

§8.2 本构方程的表述方法三大方法：1．微观方法：在原子、分子或晶粒尺度上来考虑或模型材料的变形或断裂，再将微观变量（位错浓度、孔洞浓度、构成等）加以整体化或平均化，以获材料的客观行为（该法距离应用还远）。

对于微体力学，要用微观方法，如生物力学中血管流动力学等。

2．热力学方法：引入等价于真实介质的均匀介质（均匀、连续假设），引入宏观的内变量来反映材料行为的不可逆过程，即材料的历史相关性。

用 ,3,2,1(=k k α，熊书77页）表示内变量，则本构方程可表示为：()())()T T ,,,,,,h h ,,k k k k k k k k T q s s T q T q T q ααψψαα===(=其中，T 为Euler （Cauchy ）应力张量，s 为比熵，ψ为比自由能（也可用比内能u ，Ts u -=ψ），h 为热流矢。

上述四类本构方程中，若为可逆过程，则k q 没有出现，若为不可逆过程，则k q 出现，由于k q 的出现，多了未知数，因此，还要建立内变量的变化规律为（率方程）：),,(k k k k q T q qα = 3．泛函表述法（上面用“∧”表示泛函）：[()()]()()]()()]()()]()()]ˆT Tx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆx X ,,X ,,X ,ˆh hx X ,,X ,,X ,t T t t t T t t u ut T t t s st T t t t T t t ψψ''''=''''=[''''=[''''=[''''=[ 其中，左边的量与2中叙述相同，右边的量为：X '为该单元体以外所有的质点（长程系统），X 为该单元体内的质点，t '：表示时刻t 以前的所有的时间（∞-≤t '≤t ）。

最后导出一个积分型的遗传规律（与历史有关），这个规律表示材料的特征函数。

微观方法难在：微观变量不好测量，且平均化有误差。

热力学方法难在：①引入的势函（自由能ψ，耗散势）难于直接观测；②内变量按定义就是不可直接观测的，有人为的任意性。

泛函方法难在：具体写出泛函数的形式。

粘弹性力学用泛函方法，但不是直接写出泛函的形式，而是一个积分形式。

微观和宏观相结合的方法建立了本构方程，目前有用。

§8.3 本构方程的原理（相当于工程中的规范）1．确定性原理：认为任何力学—热学状态都是可确定的。

ⅡXⅠX x 1牛顿经典力学确定性原理：只要知道初始状态就可知任何状态。

近代力学确定性原理：只要知道现在和历史，方可知未来。

但现在的浑沌问题具有不确定性。

令：τ-=t t *，为从现时刻t 回到τ时刻的经过的时间。

物质点X 在t 时刻以前的变形史()()t t *x X , 0*=t 为现时刻，0*>t 为过去时刻。

或记为：()((t t ττ-)=)x X ,x X , 按确定性原理写出的本构方程为：()()()t t t =ˆT X ,Tx ;X , 其中ˆT称为本构泛函——单值性。

2．局部作用原理（短程原理）只与本身单元有关，与周围无关。

即：离开物质点X 有限距离之外的物质点的变形史与X 点的应力无关。

以X 为中心取一领域()R X()R ∈z X 即 δ-<z X设()x t 和()ˆxt 是二个变形史，在()R X 内的物质点变形史完全一样，但在()R X 以外的物质点的变形史不一样，根据确定性原理，分别写出其本构方程，于是有：()()()()t t t t =ˆˆˆTx ;X ,T x ;X , 3．客观性原理：（时空系无关原理，标架无关原理）材料本构方程完全决定于材料本身的本构属性。

材料的本构方程与观察者所处的时空系无关；作相对运动的两个观察者观测同一个本构实验，应得到同一个本构方程。

以上为Noll 三原则（1958年），后又提出以下原理（进一步完善）。

4．短暂记忆原理衰减记忆过去∞-tτ5．坐标系不变性原理本构方程是张量方程，张量是坐标系不变的。

6．许可性原理本构方程不违反守恒定律和熵不等式。

7．等存在性原理各类本构方程所包含的状态变量相同。

如果对一类本构方程证明某个变量难排除，则一般地在其它级本构方程中也不包含该变量。