1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，
通解为 y1 C1er1x C2er2 x .
2
特征方程具有两个相等的实根，
即
r1

r2

p 2
.
通解为 y C1erx C2 xerx (C1 C2 x)erx .
3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a – ib .
y + py + qy = Aeax，
⑦
其中 a，A 均为常数.
由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指 数函数，因此，我们可以设 ⑦ 的特解
y* Bx keax .
其中 B 为待定常数， 当 a 不是 ⑦ 式所对应的线性齐
次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个 特解，Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则
y = Y + y*，
是线性非齐次方程的通解.
二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤 是：
(1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； (3) 根据特征根的三种不同情况，写出其通解.
当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1；当 a 是其特征
方程重根时，取 k = 2.
3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型
设二阶常系数线性非齐次方程为
y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，⑧
其中 a，A ，B 均为常数.
通解为 y eax (C1 cos bx C2 sin bx).
（2）.二阶常系数线性非齐次方程的解法
1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次方程为
y + py + qy = Pn(x),
⑥
其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 因为方程中 p、q 均为 常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设 ⑥ 式的
n
xdx

C

1 cos x C .
x
二阶线性微分方程解法
二阶微分方程形式如下
y + p(x)y + q(x)y = f (x)
称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项， 当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程， 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx

P( x) y

0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y

dy y


P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
（1）.一阶常系数线性非齐次方程的解法 定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的
两个解，则函数 y = C1 y1 + C2 y2
仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数. 定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程
y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则
2. 线性非齐次方程
dy P( x) y Q( x). dx
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
作变换 y u( x)e P( x)dx
y

u( x)e
P ( x)dx

u( x)[P( x)]e
P ( x)dx
,
将y和y代入原方程得 u( x)e P( x)dx Q( x),
微分方程基本理论
一、一阶线性微分方程的解 二、二阶线性微分方程的解
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
非齐次方程特解
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解.
x
x
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x



e

1 x
dx


sin x
x


e
1 x
dx
dx

C


e
ln
x


sin x
x

eln
xdx

C


1 x

si
特解为
y* xkQn ( x),
其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 当原方程 ⑥ 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时，
k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.
2 自由项 f (x) 为 Aeax 型
设二阶常系数线性非齐次方程为
由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍 为指数函数，正 弦 函 数 与 余 弦 函 数 的 导 数 也 总 是 余弦函数与正弦函数，因此, 我们可以设 ⑧有特解
y* xkeax (C cos wx D sinwx).
其中 C，D 为待定常数. 当 a + wi 不是 ⑧ 式所对
应的齐次方程的特征方程的根时，取 k = 0，是根时， 取 k = 1，代入 ⑧ 式，求得 C 及 D.