旋度： A lim

L
A dl S
n
S 0
给出一个矢量场空间任意一点的散度和旋度构成对矢量场 性质的完整描述。
E
ΦE ES

E
课后思考题：试举例说明矢量场的散度和旋度的物理 意义。
ΦE ES cos E S
S Sn
S与电场强 度方向垂直 S 法线方向与电场 强度方向成角
数学上可严格证明：给出一个矢量场对任意闭合曲面的通量， 以及对任意闭合回路的环流，构成对矢量场性质的完整描述。
静电场高斯定理和环路定理完整给出了静电场的性质。
微分形式：
散度： A lim
A dS
S
V 0
V
1 E E dS
S
0
qi
i 1
n
q
q
i
0 E 0
由高斯面内外 电荷产生
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
高斯面所包 围的电量
思考题：教材P83第一章课后思考题1-8，1-9
整个闭合面的电通量不变 在闭合面内，若电 荷的代数和不变，则 电荷分布的变化影响各点场强的变化
E dS EdS E 2rh
S S侧
上 下 0 侧
E
高斯面S侧
n
讨论: 无限长带电圆筒内部 E=0, 外部 E 2 o r
h E E 2 rh 2 o r o

例3.计算无限大均匀带电平面的场强分布。 （电荷密度为） 解： 无限大均匀带电平面两边场强 对称分布，由高斯定理求解。
问题：高斯定理可以从库仑定律导出，这两个定理 （定律）中哪个的适用范围更广？ 库仑定律只适用于静止点电荷产生的静电场，而高斯 定律对任意电场都适用，包括静电场和非静电场。 与数学不同，物理学中导出定理可以比原定律有更广 的适用范围，而且这样的例子有很多，根本原因在于 物理学本质上是一门实验科学，物理学定理是否成立 要由实验判别。
解题步骤： （1）首先对系统进行对称性分析，确定场强方向； 几种常用的确定电场强度的方法： a. 叠加原理； b. 对称性分析；
（2）无限长均匀带电直线（线，筒，柱）类; 轴对称性 （3）无限大均匀带电平面类。 平板对称性
c. 利用电场是极矢量的性质（镜像对称）； （教材P466附录A-4） （2）根据对称性选择合适的高斯面； （3）应用高斯定理计算。
S
qi E dS
S
S
S
方法 a. 叠加原理； 方法 b. 对称性分析；
O
r
P
E
在r<R处:
40r 2 E dS E4r 0
2
E
S
Q
E
Q er 4 0 r 2
0
E0
1 r2
高斯面
E
q 4 0 R 2
第二步：根据对称性选择合适的高斯面； 第三步：应用高斯定理计算。
（4）系统整体不具有对称性，但局部具有对称性。 高斯定理+叠加原理求解
例1. 求均匀带电球壳的场强分布。（已知薄球壳半 径为R，带电量为Q） 解：第一步：首先对系统进行对 称性分析，确定场强方向；
Q
R
由高斯定理： 在r>R处:
0 Q 2 E dS EdS EdS E4 r
+ + + + + + + + + + + +
v
热学
对象变导致一系列深刻的变化——不仅规律的形式， 而且规律的性质发生变化，有相应的数学手段的引入 如牛顿研究引力的同时提出了微积分
场是一定空间范围内连续分布的客体 物体温度
T
流体的流速
v
温度分布——温度场（标量场） 流速分布——流速场（矢量场）
(5) 若已知电场空间分布，可利用高斯定理求出电 荷空间分布。
1 E dS
S
o
q
i 1
n
i
1 E (r ) (r )
o
(6) 若电荷空间分布具有高度对称性，可利用高斯 定理求出空间电场分布。
五 高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 由高斯定理求解场强的四类典型题型： （1）均匀带电球类; 球对称性
y
S5
四 高斯定理
1. 高斯定理的表述和表达式： 在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍。 此闭合曲面—高斯面
n
θ
E
1 ES1 cos ES1 n
2 3 4 0
S4
θ
S1
o
S3
x
5 ES5 cos ES1
侧 0
⑵ 为负，场强方向垂直指向平面。 ⑴ 均匀电场；
E A EB
平面之间： 平面之外：
2 0
E内 E A EB
o
思考题：教材P83第一章课后思考题1-12
E外 E A E B 0
2. 电场不均匀，S为任意曲面
3. S为任意闭合曲面
E
dΦ E dS
E
d E dS
S
d E EdS
EdS cos E dS
ΦE E cos dS E dS
S
n
θ
E
ΦE dΦE SE cos dS S E dS E n dS
1
S
E i dS
q1 q
q2 qn
dE dE
对于闭合面S’+S，总通量为
0
q
i 1
i n
i
ΦE

S
d E
( d d
E
E
) 0
结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的电通量为零。
1 E E dS
S
0
q
i 1
例4.计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布。 解： 系统整体不具有对称性， 但局部具有对称性。
E + EA EB A B -
S E S S d o E dS 2 底 侧
S
E
可利用高斯定理+叠加原理 求解
底 ES S 2 ES E o 2 o 讨论：
d E EdS cos E dS
dN ( dS ' E ) dS ' d E E dS EdS ' dN E
物理意义：穿过dS的电力线的根数
通量： A dS
S
环流： A dl
L
三 电通量
通过电场中某一面的电场线数称为通过该面的电通量。 用 ΦE 表示。 1、均匀电场中通过平面S的电通量
S S
规定：外法线方向为正
n
θ
S
（1）当 < 90°时：电场线穿出闭合曲面，电通量为正 （2）当 > 90°时： 电场线穿进闭合曲面，电通量为负 （3）当 = 90°时： 电场线与曲面相切，电通量为零
例1.有一三棱柱放在电场强度为E =200 N· C-1的 均匀电场中。求通过此三棱柱的电场强度通量。 解：
流体流速场
静电荷产生静电场具有什么性质？
已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布 已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动
问题：不同电荷分布产生的电场分布不同，这些形形 色色的电场背后有无共同规律？其本质是什么？
期望从不同的角度揭示电场的规律性 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场
0 无旋 0 源 环流： v dl 0 L S 0 有旋 0 汇 课后思考题：试举例说明通量的物理意义。
电场线密度
dS
E
+
电场线疏密反映场强大小
Thu Sep 18 2014 14:34:46 GMT+0800
一对等量正点电荷的电场线
一对等量异号点电荷的电场线
+
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
2q
q
3. 静电场中电场线的特点： ⑴ 电场线起始于正电荷，终止于负电荷; ⑵ 电场线不闭合，不相交; ⑶ 电场线密集处电场强，电场线稀疏处电场弱。
E
q
E S
R dS
ˆ dS q r q d 4πε0 r 2 4 0
对整个闭合面S有
(3) 点电荷q被 任意曲面包围 d E E dS
+
ΦE dΦE
S S
q q dΩ 4πε0 4πε0
dΩ
S
q ε0
一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为中心的 任意球面的电通量等于 q / 0
z
n
1 E E dS
S
o
q
i 1
n
i
S2
2. 立体角
1 2 3 4 5 0
ˆ dS dS ' r d 2 2 r r
(球面度)
3.高斯定理的证明：(从特殊到一般） ⑴ 点电荷在球形高斯面的圆心处
4o R 2 dΦE E dS E cos 0dS qdS ΦE S 4 R 2 o q q 4 R 2 2 o 4o R