第一部分 习题 第一章 静电场基本规律1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距2510-⨯米时，相互排斥力为牛顿。

问它们相距0.1米时，排斥力是多少两点电荷的电量各为多少解：设两点电荷中一个所带电量为q ，则另一个为4q ：（1） 根据库仑定律：r r q q K F ˆ221　=ϖ 得：212221r r F F = （牛顿））（）（4.01010560.12122222112=⨯⨯==--r r F F (2) 21224r q K F =∴ 2194221211109410560.14）（）（⨯⨯⨯⨯±=±=-K r F q =±×710- （库仑） 4q=±×810- （库仑）1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大解： 设其中一个所带电量为q ，则一个所带电量为Q-q 。

根据库仑定律知，相互作用力的大小：2)(rq Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F即：0)2(=-q Q r K∴ Q q 21=。

1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ，相距L ，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。

图 1．2．3即：41πε20xq q = 041πε )(220x L q q - =21x2)(2x L - 即：0222=-+L xL x 解此方程得：)()21(0距离的是到q q X L x ±-= （1） 当为所求答案。

时，0)12(>-=x L x （2） 当不合题意，舍去。

时，0)12(<--=x L x1．2．4在直角坐标系中，在（0，），（0，）的两个位置上分别放有电量为1010q -=（库）的点电荷，在（，0）的位置上放有一电量为810Q -=（库）的点电荷，求Q 所受力的大小和方向（坐标的单位是米）解：根据库仑定律知：1211ˆr r Qq K F =ϖ )ˆsin ˆ(cos 11211j i rQ q Kαα-=　2281092.01.01010109+⨯⨯⨯=--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++21222122)2.01.0(ˆ1.0)2.01.0(ˆ2.0j i =j iˆ100.8ˆ1061.187--⨯-⨯ 如图所示，其中 21212111)(cos y x x +=α21212111)(sin y x y +=α同理：)ˆsin ˆ(cos 222212j i r Q q K F αα+⨯=　ϖ 2281092.01.01010109+⨯⨯⨯=--×⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++21222122)2.01.0(ˆ1.0)2.01.0(ˆ2.0j i=j iˆ100.8ˆ1061.187--⨯-⨯ )(ˆ1022.3721牛顿iF F F -⨯=+=ϖϖϖ1．2．5在正方形的顶点上各放一电量相等的同性点电荷q 。

（1）证明放在正方形中心的任意电量的点电荷所受的力为零；（2）若在中心放一点电荷Q ，使顶点上每个电荷受到的合力恰为零，求Q 与q 的关系。

证：（1） 如图（a ）,设正方形每边长为a,中心所放的点电荷的电量Q 。

由库仑定律及迭加原理得： CO AO DO BO F F F F F ϖϖϖϖϖ+++=合=kQq ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222ˆˆˆˆCO CO AO AO DO DO BO BO r r r r r rr r 0)ˆˆˆˆ(22=+++=CO AO DO BO r r r r akQq其中：a r r r r DO CO AO BO 22==== CO AO DO BO r r r rˆˆ,ˆˆ-=-= 在证明过程中可看出：放在正方形中心的点电荷不论其电量为何值，它所受的力均为零。

（2） 讨论B 点的电荷所受的力：设A ，O ，C ，D 点的点电荷对B 点的电荷q 的作用力分别为：D C O A F F F F ϖϖϖϖ,,,如图所示：A A ra Kq F ˆ22　=ϖ C C r a Kq F ˆ22　=ϖ )ˆ45sin ˆ45(cos 2ˆ2002222C A D D r r aKq r a Kq F +==　ϖ =)ˆˆ(4222C A r r a Kq +=O O r aKQq F ˆ222　=ϖ)ˆˆ(22C A r r aKQq+= 使D C O A F F F F F ϖϖϖϖϖ+++=)ˆˆ(24222222CArraKQqaKqaKq+⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=　= 0即使：024222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++aKQqaKqaKq∴ Q=-q⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22411．2．6两电量相等的同性点电荷，在其联线的中垂面上放一点电荷，根据对称性可知，该点电荷在中垂面上受力的极大值的轨迹是一个圆，求该圆的半径。

解：如图（a），设x轴上有两个点电荷，其电量均为q, 坐标分别为（-a,o,o）、(a,o,o); 中垂面yoz平面上有一点点电荷Q，坐标为（o,y,z）设k zj yrˆˆ+=ϖ222zyr+=即在中垂面内Q到坐标原点的距离。

如图（b），根据对称性点电荷Q所受的合力方向与rϖ方向一致，设（q与Q同号）∴rarkQqrrarkQqFˆ)(2)ˆsin2232222+=+=αϖ求F对r的极值：⎥⎥⎦⎤++⎢⎢⎣⎡+-='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2322252222322)(1)(32)(2ararrkQqarkQqr= 0即：0)(3222=++-arr∴222ar=即：2222azy=+是一个圆的方程。

圆心 (o,o,o) ,半径为a 22-。

1．3．1在长为50厘米、相距1厘米的两个带电平行板间的电场是匀强电场（场强方向垂直向上）。

将一速度为7010v =（米/秒）的电子从M 点（距上下板等距离）水平射入电场（见图），若电子恰在平行板的边缘处离开电场，求该匀强电场的大注。

（忽略边缘效应，认为板外场强为零，且略去重力对电子的影响。

）解：根据场强的定义得，电子所受的力：E eF ϖϖ-=电子产生一个向下的加速度：mEem F a ==- 设板长为L ，电子在平板间运动的时间： a h v Lt 20==即：Ee mh v L 20= ∴ eL v m h E 222= 19214313106.11025101011.91052----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== （牛/库）1．3．2用细线悬一质量为0.2克的小球，将其置于两个竖直放置的平行板间（见图）。

设小球带电量为9610-⨯库仑，欲使悬挂小球的细线与场强夹然成60°角，求两板间场强解：带电小球所受的电场力：E Q F ϖϖ=，重力为mg,细绳的张力为T ϖ，根据力的平衡条件知：⎩⎨⎧==EQ T gm T 0060cos 60sin图 2 即：060ctg QmgE =94106577.08.9102--⨯⨯⨯⨯==)/(1089.15库牛⨯1．3．3有一电子射入一电场强度是3510⨯牛顿/库仑的均匀电场，电场的方向是竖直向上，电子的初速度是107米/秒，与水平线所夹的入射角为30°（见图），不考虑重力对电子的影响。

（1）求该电子上升的最大高度；（2）此电子回到其原来高度时的水平射程是多少解：E eF ϖϖ-=其加速度mE e mF a ϖϖϖ-== 当电子上升到最大高度时：0=⊥v∴h a v v 2)30sin (20020==⊥∴a v h 2)30sin (200=eE mv 2)30sin (200==3198127105106.12101.9)5.010(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--)(104.12米-⨯=（2）电子从上升到返回到原来高度时共用时间： ah t 22=eE m h 22=319312105106.1101.9104.122⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--- )(1013.18秒-⨯=水平射程：t v t v S o o o 30cos ``==871013.1866.010-⨯⨯⨯=)(1079.92米-⨯=1．3．4电子所带的电量（基本电荷—e ）最先是由密立根通过油滴实验测出的。

密立根设计的实验装置如附图所示，一个很小的带电油滴在电场E 内，调节E ，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡。

如果油滴的半径为41.6410-⨯厘米。

若平衡时，51.9210E =⨯牛顿/库仑。

求油滴上的电荷（已知油的密度为0.851克/厘米3）。

解：设油滴的电量为Q ，体密度为 ρ，半径为R （设油滴所带电量为体分布），它受的电场力和重力分别为F 和P ， 由F=P 得：EQ=mg=343gR ρπQ=EgR 343ρπ=53361092.138.910851.0)1064.1(4⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-π)(1002.819库仑-⨯=1．3．5两个电荷，1 4.0q =（微库），28.0q =（微库），其相距为10厘米，求离它们都是10厘米处的电场强度E 。

解：21014r q E πε=26910104109--⨯⨯⨯=)/(106.38库牛⨯=220224r q E πε=26410104109--⨯⨯⨯= )/(108.78库牛⨯=如图所示，在直角坐标系o x y 中， 将1E ϖ，2E ϖ分解：=x E +x E 1x E 20160cos E =02120cos E + )/(1036.98库牛⨯==y E +y E 1y E 20160sin E =02120sin E +)/(1052.98库牛⨯=1．3．6如图，一半径为R 的均匀带电圆环，电荷总量为q 。

（1）求轴线上离环中心O 为x 处的场强E ； （2）画出E-x 曲线；（3）轴线上什么地方的场强最大其值是多少 解：（1）如图所示，圆环上任一电荷元dq 在p 点产 生的场强为： 204rdqdE πε=根据对称性分析，整个圆环在距圆心x 处P 点产生的场强： ⎰=αcos dE E r x r dq •=⎰2041πε⎰=dq r x 304πε304rqx πε=23220)(4R x qx +=πε（2）E —x 曲线如图所示。

（3）求E ϖ的极值： 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=23220)(4R x qxdx d dx dE πε = 0 得： 222R x =既：R x 22±=，在距圆心左右两侧R 22处的场强最大。

其值为：20max 36Rq E πε=1．3．7电荷以线密度η均匀分布在长为L 的直线段上。

（1）求带电线的中垂线上与带电线相距为R 的点的场强； （2）证明当L →∞时，该点的场强02E Rηπε=； （3）试证当R>>L 时，所得结果与点电荷场强公式一致。