➢ 湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍
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混沌现象举例--蝴蝶效应
➢ 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述 气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准 确进行长期天气预报的可能性。
➢ 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从 上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算 的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果， 甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另 一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差 别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意 识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程 对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出 长期天气预报是不可能的。
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混沌的特点
2. 内在随机性
➢ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
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混沌与分岔的起源与发展
➢ 混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的 研究得到迅速发展，如
➢ Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； ➢ Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； ➢ Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
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混沌的概念
➢ 混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。
➢ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
➢ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
➢ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
➢ 其典型方程为：x x x3
➢ 方程的平衡点有三个：x=0和 x
➢ 平衡态的稳定性由雅可比矩阵的特征值决定：
➢ 对于平衡点x=0，雅可比矩阵的特征值为μ。当μ<0时， 平衡点x=0是稳定的；当μ>0时，它是不稳定的。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
3. 取λ：3—3.569迭代
➢ 迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中在3— 3.449之间为2周期，在3.449—3.544间为4周期······随着λ 的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.569 时分岔周期变为∞，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表 现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时 系统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应λ取值3.569—4。
➢ 分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特 性。
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混沌的特点
5. 普适性
➢ 普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 ➢ 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
混沌的特点
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6. 遍历性
➢ 遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够 到达混沌区域内任何一点。
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4. 分形性
混沌的特点
➢ 分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在 70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
➢ 所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
n
lim sup f (n) (x) f (n) ( p) 0, x S, p为周期点
n
➢ 则称 f 在S上是混沌的。
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混沌的概念
➢ Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道；
2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；
Xn+1=5Xn(1—Xn)， 当代入Xn=0.5后会得到Xn+1=1.25，而 最大相对虫口数只能为1，Xn+1=1.25显然没有意义。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解：
1. 取λ：0—1迭代
➢ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1— Xn)迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳 定态。
3. 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
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混沌的特点
1. 对初值的敏感性
➢ 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
➢ 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz) 在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的 著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运 动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
混沌的特点
➢ 几种典型的混沌吸引子
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Chen’s 吸引子
Lorenz 吸引子
Rossler 吸引子
BITPEMC混沌来自象举例➢ 机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的 混沌振动
➢ 正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线 代表的就是典型的混沌现象
➢ 单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角 度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能 够进入混沌状态
➢ 1834年雅可比首次提出分岔这个术语。
➢ 1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的 分岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔 研究的重要动力。
➢ 20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研 究中发现大量的分岔现象。
➢ 以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直 到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线 性分析等方面逐渐形成了现代数学理论。
➢ 混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重 要特征之一。
混沌的特点
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3. 长期不可预测性
➢ 由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的 微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响， 因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特
性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
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n：1，2，3，···∞； Xn：[0，1]； λ：[0，4]
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混沌现象举例--昆虫繁衍
➢ 假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为N0，且 N0>>1。第n代虫口数为Nn，则Xn=Nn/N0，是为第n代的相 对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故Xn的值不能超 过1。λ是控制参量，虫口模型要求λ取值[0，4]，这是因为 在λ>4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对
➢ 分岔问题可以分成静态分岔和动态分岔。静态分岔指系统的 平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临 界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生 变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。
➢ 叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。
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分岔的概念
1. 叉形分岔 •
➢ 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
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混沌与分岔的起源与发展
➢ 分岔现象最早来源于1729年Musschenbrock对压杆失稳 实验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。
➢ Li-Yorke定理：
➢ 设连续自映射 f : I I R ，I 是 R 的一个闭区间，如果：
➢ ① 存在一切周期的周期点； ➢ ②存在不可数子集S，S不含周期点，使得
lim sup f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
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分岔的概念
➢ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
➢ 分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。 分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突 变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可 见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。