二分查找是在我们整个数据结构当中一个比较重要的算法，它的思想在我们的实际开发过程当中应用得非常广泛。
在实际应用中，有些数据序列是已经经过排序的，或者可以将数据进行排序，排序后的数据我们可以通过某种高效的查找方式来进行查找，今天要讲的就是折半查找法(二分查找)，它的时间复杂度为O(logn)，将以下几个方面进行概述
了解二分查找的原理与思想
分析二分查找的时间复杂度
掌握二分查找的实现方法
了解二分查找的使用条件和场景
1 二分查找的原理与思想
在上一个章节当中，我们学习了各种各样的排序的算法，接下来我们就讲解一下针对有序集合的查找的算法—二分查找（Binary Search、折半查找）算法，二分查找呢，是一种非常容易懂的查找算法，它的思想在我们的生活中随处可见，比如说：同学聚会的时候喜欢玩一个游戏——猜数字游戏，比如在1-100以内的数字，让别人来猜从，猜的过程当中会被提示是猜大了还是猜小了，直到猜中为止。
这个过程其实就是二分查找的思想的体现，这是个生活中的例子，在我们
现实开发过程当中也有很多应用到二分查找思想的场景。
比如说仙现在有10个订单，它的金额分别是6、12 、15、19、24、26、29、35、46、67 请从中找出订单金额为15的订单，利用二分查找的思想，那我们每一次都会与中间的数据进行比较来缩小我们查找的范围，下面这幅图代表了查找的过程，其中low，high代表了待查找的区间的下标范围，mid表示待查找区间中间元素的下标（如果范围区间是偶数个导致中间的数有两个就选择较小的那个）
第一次二分查找
第二次二分查找
第三次二分查找
通过这个查找过程我们可以对二分查找的思想做一个汇总：二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似于分治思想。
每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间范围缩小为原来的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。
一：查找的数据有序
二：每次查找，数据的范围都在缩小，直到找到或找不到为止。
2 二分查找的时间复杂度
我们假设数据大小为n，每次查询完之后，数据就缩减为原来的一半，直到最后的数据大小被缩减为1
n,n/2,n/4,n/8,n/16,n/32,…………,1
这是一个等比数列，当数据大小变为1时，
k是总共缩小的次数，而每次缩小只涉及两个数据的比较大小，所以经过了K次区间缩小操作，通过计算k的值我们就可以得出二分查找的时间复杂度是O(logn)
这是一种非常高效的时间复杂度，有时候甚至比O(1)复杂度更高效，为什么这么说呢？因为对于logn来说即使n的非常大，对应的logn的值也会很小，之前在学习O(1)时间复杂度时我们说过O(1)代表的是一种常量级的时间复杂度，并不是说代码只需要执行一条语句，有时候可能要执行100次，1000次，这样常规级次数都用O(1)来表示，所以，常量级时间复杂度的算法有时候还没有O(logn)的算法执行效率高。
3 二分查找算法的实现
I 有序数列当中不存在重复的元素
*/
//递归二分查找//
int binaS(int*arr,int key,int high,int low) {
if(low>high)
return -1;
int mid=(high+low)/2;
if(arr[mid]==key)
{
return mid;
}
else if(arr[mid]>key)
{
binaS(arr,key,low,mid-1);
}
else
{
binaS(arr,key,mid+1,high);
}
}
int main()
{
//二分查找
int a[4]={11,22,33,44};
int key;
cin>>key;
cout<<binaS(a,key,0,3);
// int low=0,high=3,flag=1,mid;
// while(low<=high)
// {
// mid=(low+high)/2;
// if(key==a[mid])
// {
// cout<<mid<<" ";
//
// //flag=0;
// //break;
// }
// else if(key<a[mid])
// {
// high=mid-1;
II 有序数列当中存在重复的元素思路1：
//当我们的mid指针已经指向第一个元素或者我们的mid指针前一个元素不等于我们的查找
//元素的时候，直接返回mid下标
if(mid==0 || array[mid-1]!=value)
{
return mid;
} //否则，继续二分查找
else
{
high=mid-1;
}
}
else if(array[mid]<value)
{
low=mid+1;
}
else if(array[mid]>value)
{
high=mid-1;
}
}
思路2：
while(low<=high)
{
int mid=low+(high-low)/2;
if(arr[mid]==value)
{
//和查找第一个元素的思路是一样的
if(mid==len-1 || arr[mid+1]!=value) return mid;
//否则继续查找，往后查找
else
{
low=mid+1;
}
}
else if(arr[mid]>value)
{
high=mid-1;
}
else if(arr[mid]<value)
{
low=mid+1;
}
if(arr[mid]>=value)
{
if(mid==0||arr[mid-1]<value) 一定要小于value 1 3 5 7 9 如果是2，那不行
return mid;
else
high=mid-1;
}
else if(arr[mid]<value)
{
low=mid+1;
}
}
return -1;
*/
int binarySearch(int*arr,int value,int len)
{
int low=0,high=len-1,max=-1;
while(low<=high)
{
int mid=low+(high-low)/2;
if(arr[mid]==value)
{
if(mid==0||arr[mid-1]!=value)
{
return mid;
}
else
{
high=mid-1;
}
}
else if(arr[mid]>value)
{
max=mid;
high=mid-1;
}
else if(arr[mid]<value)
{
low=mid+1;
}
}
int low=0,higg=len-1;
while(low<=high)
{
int mid=low+(high-low)>>1;
if(arr[mid]<=value) //11 22
{
if(mid==len-1||arr[mid+1]>value)
return mid;
else
low=mid+1;
}
else
{
high=mid-1;
}
}
return -1;
}
int main()
{
二分查找法的使用条件和场景
拓展：log2N → O(logN) → loga N=logcN/logca,因1/logca 不是1，所以舍去，剩下logcN，c可以是任何的值，不关心，所以是logN
案例一：跳房子(这…，看题我都要看半小时)。