其中一种特解为高斯光束：
E(x,
y, z)

A0 W (z)
exp[
(x2 y2)
x2 y2
W 2(z)
] exp[ ik( 2R(z)

z) i(z)]
沿z轴传播的高斯光束的电矢量为波动方程的解
E代入微分方程可以得到W、R等的关系式
高斯光束的特点
高斯光束的场分布 为z轴旋转对称，中心 处是强度为高斯分布 的平面波，在其他处 为高斯分布的球面波。
波阵面的曲率半径为R(z) 光斑半径为W(z) 光束横截面上的光斑尺寸W(z)随z变化，呈特定的
函数关系
高斯光束在z=0时
E(x,
y,0)

A0 W0
exp[
r2 W02
]
其中
r2 x2 y2
E A0 W0
A0 eW0
lim
z0
R(z)

lim
z0

z

1

L)
1
]4
确定反射镜（腔镜）的大小
对称稳定腔
R1 R2 R
L(R L) z1 2(L R)
z2


L(R L) 2(L R)
L(2R L) f
2
腔内基模光斑尺寸随z的变化为
W (z1) W (z2 ) W (z)
R 2R L 1/4


1
A0 为振幅 波矢 K 2n

球面波表示成：
E(x, y, z) A0 exp(iKR) exp(it)
R
A0 为振幅， R为半径，等R 等振幅，等位相 R
园频率 2
高斯光束的波动方程
把E代入波动方程，可以得到在直角坐标下的波动方程为
2 2

x2 y2 2ik z 0
Emax
r (z)
E Emax e
E Emax
r
光强分布
I

E(x, y, z) 2

A0 W (z)
2
exp

2r 2 W 2(z
)


I max e2
高斯光束在 z z0 0时， 在z=0附件有
E(x,
y, z)

A0 R
exp iK

z
基模远场发散角
2 W0
稳定球面腔的基模远场发散角
对称共焦腔情况下
2 2
L

J1
J1J
J2 2J1J 2 (1 J1J 2
2
2
)
1/
4
2 2 2 L
半共焦情况下 平-凹腔情况下
2 2 L
2 2

[
(
R
1 L
L2
一般稳定球面腔的基横模体积
V00

1 2
L(W1
W2 2
)2
多横模的横模体积
Vmn (2m 1)(2n 1) V00
横模阶数越高，横模的体积越大，即高阶模式激光能产生较大的激光输出
第三节 谐振腔中的高阶振荡模
轴对称高阶横模 TEM mn振幅分布特征
Amn (x,
y,
z)

Am0nH m ( X
其电场可以表示为：
E(x,
y,
z)

A0 W (z)
exp[

(x2 W2
y (z)
2
)
]

exp[
ik
(
x2 2R(
y2 z)

z)
i(z)]
共焦腔的场即为高斯场
沿z轴传播的高斯光束的电矢量
E(x,
y,
z)

A0 W (z)
exp[

(x2 W2
y (z)
2
)
]

exp[
ik
mnq

c 2L
q
实际的平行平面腔
mnq

c 2L
[q

(m

n
1)
1

2L ] R
共焦腔
mnq

c 2L
[q

1

(m

n
1)]
共心腔
mnq

c 2L
q
第四节 高斯光束通过透镜时的变换
对称稳定腔 R1 R2 R, J1 J2 1
给定L，变化R时，共焦腔镜面光斑为极小
W
L
给定R，变化L时，共焦腔 的腰斑光斑为极大 W0
R 2
平凹腔的腰斑中心就在平面镜上，
z1 0 z2 L f L(R L)
当R=2L时，凹镜光斑与等价共 焦腔的反射镜相等
模式太多对形成单一频率的激光不利
开式谐振腔
平行于光场传播方向的四周敞开，仅仅在垂直光 场传播方向（即光轴）两头设有反射腔镜。
按照腔的稳定性
0

1
L R1

1
L R2


1
稳定腔：几何偏折损耗很低，
调整精度要求较低，波形限制能
力比较弱，输出光束反射角较大。

W02 z
2



-W0
W0
可见高斯光束在z=0处的波阵面是平面，但它
的E矢量振幅分布是高斯分布。
W0称为高斯光束的束腰（光斑）半径
高斯光束特性
高斯光束的束斑（光束半径）
场强分布
E(x,
y,0)

A0 W0
exp[
r2 W02
]
r 0
E

A0 W0
第三章 光学谐振腔
谐振腔
q 2
电磁波在一个空腔内被腔壁来回反射，最终在腔内形成一种稳定的驻波， 这种腔体就称为谐振腔
在一个封闭的腔内，有三个方向的驻波形式
kx

2m
L
,
ky

2n
L
,
kz

2q
L
每一个振荡模式所占的波矢空间为
kx ky kz (2 L)3
谐振腔
0~K间波矢量包含的总的模式数为
Nk

K空体积 每模式所占体积

2＝
4 8
K3 3/
/3 L3

2

(KL)3 3 2

L3 3 2
( 2
)3

8 3L3 3c3
单位体积、单位频率间隔内的模式数为模密度
( ) 1
V
dN K
d

8 n3
c3
2
对1cm3的空腔，波长为3cm的微波， N=1
对波长为1um的光波，N=8x1012
k 2
f R W0 2
W
(
z)

W0[1

(
z f
)2
]1/
2
R(z) z[1 ( f )2 ] z
1. |z|=f时， W (z) 2W0
R(z) 2 f
2. |z|<f时，|R(z)|>2f, 波面球心[-f,] |z|>f时，波面球心[-f,0]
3. 可以用f和W0来表征高斯光束
共焦稳定腔
a12
W12

a22
W22

Ne
一般稳定球面腔两个反射镜的有效菲涅耳数为
N e1

a12
W12

a12 [ J1
L J2
1
(1 J1J2 )]2
Ne2

a22
W22

a22 [ J 2
L J1
1
(1 J1J2 )]2
横模体积
模式在腔内扩展的空间体积，横模体积大，有可能有较大的输出功率
J2
介稳腔：波形限制能力比较强， 光束方向性 好，光腔调整精度 要求高，几何偏折损耗较大。
非稳腔：波形限制能力比较强， 输出光束发散角小，光束质量良 好，但单程损耗很高。
半共心腔
(0,1)
共焦腔 (0,0)
(-1,-1)
共心腔
(1,1)
平面腔
J1
(1,0) 半共心腔
稳定腔：典型的谐振腔有：平凹腔，双凹腔 等
两光斑之间距离的一半
等价共焦腔
R(z) z[1 (W02 )2 ] z f 2
z
z
第二节 共焦光学谐振腔中基模的分布
一、基模高斯光束的基本性质
E00 (x,
y, z)

A0 W (z
)
exp[

W
r
2
2
(
z)
]
exp[
ik
(
2
r2 R(
z
)

z) acr tan
z f
]
r2 x2 y2
f R W02 2
R(z)

z 1

f

2

z
W (z)


W0
1


z f
2 1/ 2


k 2
共焦腔的腔镜结构确定
原则：腔镜与高斯光束波面匹配
R( z1 )

R1

z1 1


f z1
)
1
]4
衍射损耗
任何实际的激光谐振腔中，腔镜的透射与限制孔阑（包括激 光介质材料端面边缘口径）均会造成光束损耗