焦点在y 轴上的椭圆的参数方程：2222y 1,b ax +=练习：已知椭圆4922y x +＝1，点M 是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM ＝60°。

(1)求点M 的坐标；(2)如何表示椭圆在第一象限的弧？错解：由已知可得a ＝3，b ＝2，θ＝600,∴x ＝acos θ＝3cos60°＝23，y ＝bsin θ＝2sin60°＝3。

从而，点M 的坐标为)3,23(。

正解：设点M 的坐标为(x,y)，则由已知可得y ＝3x,与4922y x +＝1联立， 解得x ＝31316， y ＝93316。

所以点M 的坐标为(31316,93316)。

另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M 的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。

代入椭圆方程解出|OM|，进而得到点M 的坐标(略)。

例1 求椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。

解：如图，设椭圆1by a x 2222=+的内接矩形在第一象限的顶点是A )sin cos (ααb a ，)20(πα<<，矩形的面积和周长分别是S 、L 。

ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α⋅α=⨯=，当且仅当4a π=时，22max b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，cos y a sin x b ϕϕ=⎧⎨=⎩53arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。

例4 θ取一切实数时，连接A(4sin θ,6cos θ)和B(-4cos θ, 6sin θ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段例5 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且21MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。

解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。

则，α=+⨯+α=++=cos 8211021cos 12211x 21x x B A 3sin 4211921sin 6211y 21y y B A +α=+⨯+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数），消去参数得116)3y (64x 22=-+。

例6 椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原点，若这个椭圆上存在点P ，使得OP ⊥AP 。

求该椭圆的离心率e 的取值范围。

解：设椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+上的点P 的坐标是（ααsin b cos a ，）（α≠0且α≠π），A（a ，0）。

则acos a 0sin b k cos a sin b k AP OP -α-α=αα=，。

而OP ⊥AP ， 于是1acos a 0sin b cos a sin b -=-α-α⋅αα，整理得0b cos a cos )b a (22222=+α-α- 解得1cos =α（舍去），或222ba b cos -=α。

因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。

可转化为1ee 1122<-<-，解得21e 2>，于是1e 22<<。

故离心率e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛122，。

例7 四边形ABCD 内接于椭圆16922y x +＝1，其中点A(3,0)，C(0,4)，B 、D 分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。

求四边形ABCD 面积的最大值。

双曲线的参数方程与研究椭圆参数方程的方法类似，我们来研究双曲线②)0,0(12222>>=-b a b y a x的参数方程。

如图, 以原点O 为圆心, a, b(a>0, b>0)为半径分别作同心圆C 1、C 2。

设A 为圆C 1上任一点, 作直线OA, 过A 作圆C 1的切线AA'与x 轴交于点A', 过圆C 2与x 轴的交点B 作圆C 2的切线BB'与直线OA 交于点B'。

过点A',B'分别作y 轴, x 轴的平行线A'M, B'M 交于点M,设OA 与OX 所成的角为φ(φ∈[0, 2π)且φ≠π/2，φ≠3π/2), 求点M 的轨迹方程, 并说出点M 的轨迹。

设Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是),(y x ．那么点1A 的坐标为)0,(x ，点1B 的坐标为),(y b ．因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程得点A 的坐标为（ϕϕsin ,cos a a ），所以，)sin ,cos (,)sin ,cos (1ϕϕϕϕa a x AA a a OA --==．因为1AA OA ⊥，所以01=•AA OA ，从而0)sin ()cos (cos 2=--ϕϕϕa a x a ，解得ϕcos a x =．记ϕϕsec cos 1=，（ϕsec 是正割函数，它表示余弦函数的倒数，现在只是为推导参数方程才引入，所以不要求引入，仅供同学们学习了解使用）则ϕsec =x ．因为点1B 在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有by=ϕtan ，即ϕtan b y =．所以，点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕtan sec b y a x （ϕ为参数）（2） 因为1cos sin cos 1222=-ϕϕϕ，即1tan sec 22=-ϕϕ，所以，从（2）方程中消去参数ϕ后得到点M 的轨迹的普通方程（1）．这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．所以（2）就是双曲线（1）的参数方程．此时的参数ϕ的范围为[)πϕ2,0∈，且23,2πϕπϕ≠≠． 由图可知，参数φ是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角（称为点M 的离心角），而不是OM 的旋转角.与椭圆类似，12222=-by a x 双曲线上任意一点的坐标可以设为()ϕϕtan ,sec b a ，这是解决与双曲线有关的问题的重要方法.例1.求点M 0(0, 2)到双曲线x 2－y 2=1的最小距离。

例3 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角． 分析：（1）实轴和虚轴等长的双曲线，叫等轴双曲线，所以等轴双曲线的渐近线，方程为x y ±=，两渐近线的夹角为直角．（2）此题求证：221π=∠=∠B AA A BA证明：设双曲线方程为222a y x =-，取顶点A 2（0,a ），弦AB ∥Ox ，),tan ,sec (ααa a B 则)tan ,sec (ααa a A -．∵,sec tan ,sec tan 22aa a k a a a k BA A A -=--=αααα∴122-=•BA A A k k∴弦AB 对1A 张直角，同理对2A 也张直角．经验：①掌握等轴双曲线的定义和等轴双曲线方程的设法222a y x =-．②根据题义要能化出较标准的图象．③证明是直角，实际是证明所在直线的斜率积为-1．例4 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，A ，B 是双曲线同支上相异两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P )0,(0x ，求证：ab a x 220||+>．分析：证明题是学生学习较困难的部分，而不等式是更困难的部分，所以在证明前学会分析条件和结论之间的联系是解题的关键．解：设A ，B 坐标分别为)tan ,sec (ααb a ，)tan ,sec (ββb a ，则中点为M ))sec (sec 2(βα+a ，))tan (tan 2βα+b，于是线段AB 中垂线方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=+-)sec (sec 2)tan (tan )sec (sec )tan (tan 2βαβαβαβαa x b a b y 将)0(,0x P 代入上式，∴)sec (sec 2220βα++=ab a x ．∵2|sec sec |>+βα（∵A ，B 相异），∴ab a x 220||+>．经验：①中垂线的特点是直线过AB 中点且与线段AB 垂直．②关键点是2|sec sec |>+βα，由此得出结论．抛物线的参数方程前面曾经得到以时刻t 为参数的抛物线的参数方程：)10000(215001002g t t gt y tx ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-==为参数，且对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程px y 22=为例，其中p 为焦点到准线的距离。

设M(x, y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记作α。

显然，当α在)2,2(ππ-内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M 与之对应，因此，可以取α为参数来探求抛物线的参数方程．因为点M 在α的终边上，根据三角函数定义可得αtan =x y ，由方程px y 22=，αtan =xy联立，得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααtan 2tan 22p y p x (α为参数)，这是抛物线(不包括顶点)的参数方程．如果令αtan 1=t ，),0()0,(+∞⋃-∞∈t ，则有⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）．当t=0时，由参数方程⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）表示的点正好就是抛物线的顶点(0，0)，因此，当),(+∞-∞∈t 时，参数方程⎩⎨⎧==pt y pt x 222（t 为参数）就表示整条抛物线．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．说明：1、抛物线的参数方程因参数选择的不同会有不同的形式，要注意所选参数的几何意义．(例如：抛物线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααtan 2tan 22p y p x 时(α为参数)，这是不包括顶点的抛物线的参数方程，α是X轴正半轴到OM （M 为抛物线上的点）所成的角．抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222时(t 为参数)，参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数)．2、抛物线参数方程要注意和普通方程的等价性，要注意抛物线的完整性．例1 如图，O 为原点，A,B 为抛物线)0(22>=p px y 异于顶点的两动点，且OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程．又当点A,B 在什么位置时，ΔAOB 面积最小？最小值是多少？分析：①注意直线垂直时的条件，斜率积为-1或向量的数量积为0，引出参数间的关系．②注意挖掘三点共线的条件：01221=-y x y x解：根据条件，设点M ，A ，B 的坐标分别为),(y x ，)2,2(121pt pt ，（2222,2pt pt ）（21t t ≠，且021≠•t t ），则),(y x OM =，)2,2(121pt pt OA =，)2,2(222pt pt OB =，))(2),(2(122122t t p t t p AB --=．因为OB OA ⊥，所以0=•AB OA ，即 0)2()2(212221=+t t p t pt ，所以121-=t t ①因为AB OM ⊥，所以0=•AB OM ，即0)(2))(2(1221221=-+-t t py t t px所以0)(21=++y t t x ，即)0(21≠-=+x xyt t ． ②因为)2,2(),2,2(222121y pt x pt MB pt y pt x AM --=--=，且A ，M ，B 三点共线， 所以)2)(2()2)(2(221221x pt pt y y pt pt x --=--，化简，得02)(2121=--+x t pt t t y ③ 将①和②代入02)(2121=--+x t pt t t y 得到02)(=-+-x p xyy ，即)0(0222≠=-+x px y x ，这就是点M 的轨迹方程．（2）.4,44)(222)1()1(212)2()2(12)2()2(221222122221222212122222222*********p AOB x B A t t p t t p t t p t t t t p S AOB t t p pt pt OB t t p pt pt OA AOB 的面积最小，最小值为轴对称时，关于，即当点当且仅当的面积为所以，，＝∆-=≥++=++=+⋅+=∆+=+=+=+∆经验：①此题的重点是向量垂直，向量的数量积为0．由此找到参数之间的关系． ②三点共线得到01221=-y x y x ，消去参数21,t t 得到点M 的轨迹方程．③此出用关系式①②③得到方程)0(0222≠=-+x px y x ，采用的方法是整体消元，方法不多见，但不可忽视，目的告诉学生在解题过程中注意分析规律，注意观察综合应用．例2 过点)4,2(M 且与抛物线⎩⎨⎧==ty t x 422只有一个公共点的直线有（ ）条A 0B 1C 2D 3分析：如图，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或与对称轴平行，所以直线有两条，答案选C ．经验：①抛物线的普通方程为x y 82=，顶点在原点，开口向右；且点M 在抛物线上． ②判断椭圆和双曲线与直线交点个数时，一般联立方程，方程组有两解时，有两个交点；有惟一解时，有一个交点；无解时，没有交点．但抛物线例外，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线有一个交点．所以，判断抛物线与直线的交点个数时，把直线方程与抛物线方程联立，方程组两解时有两个交点；有一解时，如直线所过的点在抛物线内，则一条直线；若点在抛物线上，则两条直线，一条是切线，另一条是平行于对称轴的直线；若在抛物线外，且直线不过抛物线的顶点时，有三条直线于抛物线有一个公共点，其中两条切线，一条与对称轴平行；当直线过抛物线外一点，且过抛物线顶点时，与抛物线有一个交点的直线有一条．此题直线过点)4,2(M （且点在抛物线上，）所以与抛物线只有一个交点的直线有两条，所以选项为C ．例3 过抛物曲线⎩⎨⎧==22at y atx （t 为参数）的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，设ΔAOB(O 为原点)的面积为S ，求证：|:|2AB S 为定值．分析：求面积的平方与弦长的比为定值，需要求出面积的表达式和弦长的表达式，此时再用参数方程表示未知数太多，不易表示，所以采用参数方程转化为普通方程形式，用直线方程与抛物线方程联立，一元二次方程求弦长方式即求．解：抛物线ay x 42=的焦点为),0(a F ，(不妨设a>0),过焦点的直线AB 方程a kx y +=，代入抛物线方程得04422=--a akx x ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则221214,4a x x ak x x -==+．)1(44)(1||2212212k a x x x x k AB +=-++=．又点O 到直线的距离21ka d +=∴2222121)1(421||21k a k ak a d AB S +=+•+⋅=•=∴32242)1(4:)1(4|:|a k a k a AB S =++=为定值．经验：①解题方法不是千篇一律的，有时要参数方程化为普通方程，有时要普通方程化为参数方程，此题即要求把参数方程化为普通方程，且抛物线的开口向上，焦点在y 轴上．,,.O OA OB OA k AB M 的顶点任作两条互相垂直的线段和以直线的斜率为参数求线段的中点的轨迹的参数方程2P Q OP OQ x x a ⋅=⋅= 所以为定值。