协方差函数 CX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t)
min( s,t) s , (s t)
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 t 时刻事件A
发生的次数， T1 T2 T3
n
Wn Ti (n 1)
Tn
i 1
考虑机器在 (t, t+h] 内发生故障这一事件。若机器发生故障， 立即修理后继续工作，则在 (t, t+h] 内机器发生故障而停止 工作的事件数构成一个随机点过程，它可以用泊松过程来描 述。
6.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
fT
(t )
et
(t)k 1 ,
(k 1)!
t
0
0 ,
t 0
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
P P(T t0 )
e
t
(t)k 1
dt
t0
(k 1)!
P[ X (t0 )
k]
k 1
e t0
n0
(t0 )n
n!
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P( X
k)
n kpkqnkE( X ) np, D( X ) npq
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
lim P( X k ) ke
n
k!
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而 取各个值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ( 0为常数)
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Wn , n1} 是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为
FWn
(t )
1
et
n1 k 0
(t ) k
k!
u (t )
fWn (t )
e t
(t)n1 u(t)
(n 1)!
P{W1
s
X
(t)
1}
P{W1 s, X (t) 1} P{X (t) 1}
P{X (s) 1, X (t) X (s) 0} P{X (t) 1}
ΦWn
( )
(
n j )n
E[Tn ] n
D[Tn ] n
2
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，
求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解] 仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ，
则T 的概率分布为 分布:
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程，
若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的
次数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
P{X (t s) X (s) n} (t)n et , n 0,1,
n!
P{X (t) n} (t)n et , n 0,1, 2,
n!
ΦX () E[ejX (t) ] et(ej 1)
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数
mX (t) E[X (t)] t
方差函数 相关函数
2 X
(t)
DX
(t)
t
RX (s,t) E[ X (s) X (t)] s(t 1) , (s t)
泊松过程的几个例子
考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t)表示电 话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数，则{ X(t), t 0 } 是 一个泊松过程。
考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记X(t) 为时 间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则{ X(t), t 0 } 是一个泊 松过程。
n!
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0 的泊松
过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
P{X (t h) X (t) 1} h o(h)
P{X (t h) X (t) 2} o(h)
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间， 或者到达时间
Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
时间间隔Tn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Tn , n 1 }
是对应的时间间隔序列，则随机变量Tn (n=1,2,…)是独立同
分布的均值为1/ 的指数分布。
Tn 的分布函数： FTn (t) P{Tn t} (1 et )u(t)
Tn 的概率密度函数： fTn (t) etu(t)
Tn 的特征函数：
ΦTn (t) j
Tn 的数字特征： E[Tn ] 1 , D[Tn ] 1 2
等待时间（到达时间）Wn
6 泊松过程
内容提要
泊松过程的定义 泊松过程的基本性质 泊松脉冲列 散粒噪声 非齐次泊松过程 复合泊松过程
引言
[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1，其概率 分布为：
P(X 1) p, P(X 0) 1 p q E(X ) p, D(X ) pq
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A发生的 次数，则 X ~ B (n, p)
k! 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E( X ) , D( X )
6.1 泊松过程的定义
[定义] 称{ N (t), t 0 } 为计数过程，若N (t)表示到时间t 为止已发生的“事件A”的总数，且N (t)满足下列条件： (1) N (t) 0 ，且 N (0) = 0 ; (2) N (t) 取非负整数值; (3) 若 s < t ，N (s) N (t) ; (4) 当s < t 时， N (t) N (s)等于区间 (s, t] 中“事件A” 发生的次数。