(1)平行四边形法则(三角形法则）
两个矢量相加
B
A C B
A
B
C
o
A
C AB
AC B
C AB B A
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
合矢量的大小和方向
C A2 B2 2ABcos(180 ) A2 B2 2ABcos
B
C
o A
C AB
t0 t
t0 t
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
即 d A(t) lim Ax i lim Ay j lim Az k
dt
t0 t
t0 t
t0 t
dAx (t) i dAy (t) j dAz (t) k
dt
dt
dt
可以知道：矢量函数的导数仍然为一矢量。
；
dt
dt
（4）
2 adt ? ，
2 bdt ?
0
0
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
解：（1）
聊城大学物理科学与信息工程学院
d s
b
F
矢量
例 0-1
已知两矢量：
a
4i
3
j
k ，b
3i
4
j
5k ，通
过矢量运算求：
（1）以
a、
b 为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；
（2）该平行四边形的面积；
（3）该平行四边形的内角。
聊城大学物理科学与信息工程学院
o
A
A
C B
二分矢量：取平面直角坐标系
三分矢量：取空间直角坐标系
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
①平面直角坐标系
Ax Acos
Ay Asin
A Ax i Ay j
A Ax2 Ay2
arctg Ay
Ax
两矢量相加 A B
A Ax i Ay j B Bx i By j
矢量
五、矢量函数的导数和微分 恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来 不仅仅表明状态，并且也表明过程：运动”。
（1）矢量函数 在物理上遇到的矢量多为参数时间t的函数。若某一矢量 A 与变 量t之间存在一定的关系，当变量t取定某个值后，矢量有唯一
确定的值（大小和方向）与之对应，则称 A为t的矢量函数，即
Bz
(t)k
则矢量函数 A(t) 称矢量函数 B(t) 的积分，记作
A(t) B(t)dt Bx (t)i By (t) j Bz (t)k dt
Bx (t)dt i By (t)dt j Bz (t)dt k
Ax i Ay j Az k
tg B sin A B cos
arctg( B sin ) A B cos
问题：如何计算多个矢量相加？
AB
C
D
聊城大学物理科学与信息工程学院
BC D
A E E ABCD
o
矢量
两个矢量相减
A B A (B)
B
B
A
o
B
(2)矢量合成的解析法
A
限制分矢量个数和方向
矢量
表示：①矢量通常用带箭头的字母表示，如 A ，或黑体字
母A表示。
A
②在空间用一有向线段表示，如
单位
注意：
①只有大小相等、方向相同的两个矢量才相等；
A B
AB
②若大小相等、方向相反，则互称负矢量；
A
C
A C
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
③将一矢量平移后，矢量的大小和方向不变，
A
B
二、矢量的模和单位矢量
矢量
解：（1） a
b
7i
j
4k ， l1

a
b
66 8.12
a
b
i
7j
6k ， l2

a
b
86
j 3
k

1 11i 23 j 25k
3 4 5
S
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
（2）矢量函数的导数
A(t) Ax (t)i Ay (t) j Az (t)k
当变量t改变Δt时，

A
A(t

t)

A(t)


Axi
Ay
j

Az k
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
聊城大学物理科学与信息工程学院
y Ay
A

o
Ax x
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
矢量
C (Ax Bx )i (Ay By ) j
其中 Cx Ax Bx
Cy Ay By 则 C Cxi Cy j
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
根据以上性质可以得到直角坐标系的单位矢量有如下关系
i • i j • j k • k 1,
i• j i•k j•k 0
正交
若具有如下两个矢量
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k 则 A• B (Ax i Ay j Az k) • (Bx i By j Bz k) Ax Bx Ay By Az Bz
A Ax i Ay j Az k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
B Bx i By j Bz k
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
矢量
四、矢量的乘积
②空间直角坐标系
y
Ay
Ax Ax i Ay Ay j Az Az j
A Ax i Ay j Az k A Ax2 Ay2 Az2
A
j
o
ki
Ax x
Az z
arccos Ax , arccos Ay , arccos Az
A
A
A
两矢量相加减 A B
两个以上矢量相加
C
Cx2

C
2 y
arctg Cy
Cx
y
Cy
C
By
B
Ay A
Bx Ax Cx x
S A B C ... (Ax Bx Cx ...)i (Ay By Cy ...)j Sxi Sy j
聊城大学物理科学与信息工程学院
i
d
2
Ay
j
d
2
Az
k
dt2 dt2
dt 2
dt 2
矢量函数的导数性质：
(1) d ( A B) d A d B
dt
dt dt
(2) d (m A) dm A m d A
dt
dt
dt
(3) d ( A • B) d A • B A • d B
dt
dt
dt
(4) d ( A B) d A B A d B
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
矢量函数的积分性质：
(1) ( A B)dt Adt Bdt (2) m Adt m Adt, (m为常量）
(3) ( A • B)dt AxBx AyBy Az Bz dt
(4) ( A B)dt



( Ay Bz Az By )i ( Az Bx AxBz ) j ( Ax By Ay Bx )k dt
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
物理应用 ①已知加速度，求速度
a dv dt
d v adt
②已知速度，求位移
v adt
v dr dt
该矢量函数的导数矢量大小为 d A(t)
dt
该矢量函数的导数矢量方向
dA
dt
其方向为当t 0时 A 的极限方向。即为A(t) 曲线的切线且指向与时间增加相对应的方向。
A A(t)
A(t t)
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
同理可以得到该矢量函数的导数矢量二介导数：
d
2
A

d 2 Ax
dt
dt
dt
dt
同理加速度为：
a

d v(t) dt

d
2 x(t dt 2
)
i

d 2 y(t) dt 2
j
d 2 z(t) dt 2
k
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
（3）矢量函数的积分
若矢量函数 A(t) 的导数 B(t) 已知，即
d
A(t) dt

B(t)

Bx
(t)i

By
(t)
j

聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量
③矢量的矢积
若两矢量 A 和 B 相乘得到一个矢量的叫做矢积，定义为 C AB
矢量 C 的大小为 C ABsin
矢量 C 的方向
C
A B
符合右手螺旋法则
聊城大学物理科学与信息工程学院
矢量