抛物线的简单性质【学习目标】 1．知识与技能：掌握抛物线的范围、对称性、定点、焦点、准线、离心率、顶点、通径，理解2p 和e 的几何意义，初步学习利用方程研究 曲线性质的方法．2．过程与方法：通过曲线的方程来研究曲线性质的方法，让学生体会数形结合的思想、方程思想及转化的思想在研究和解决问题中的应用．3．情感态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，感受知识的发生发展过程，力求使学生获得符合时代要求的“双基”【要点梳理】要点一：抛物线标准方程2(0)2y =px p >的几何性质1． 对称性观察图象，不难发现，抛物线y 2=2px （p ＞0）关于．．x ．轴对称．．．，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．．．．．．．． 2． 范围抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x ．≥0．．；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．3． 顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点．．．．（0，0）． 4． 离心率抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率．用e 表示，e ．=1．．． 5． 通径通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．因为通过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以抛物线的通径长为．．．．2．p ．．这就是抛物线标准方程中2p 的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，p 刻画了抛物线开口的大小，p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄．6． 焦半径抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线22(0)y px p =>，0022p pPF x x =+=+；抛物线22(0)y px p =->，0022p pPF x x =-=-； 抛物线22(0)x py p =>，0022p pPF y y =+=+； 抛物线22(0)x py p =->，0022p pPF y y =-=-． 7． 焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦．设过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设1122(,)(,)A x y B x y ， 焦点弦公式：焦点弦 12()AB p x x =++； 同理： 若抛物线为22(0)y px p =->，则12()AB p x x =-+； 若抛物线为22(0)x py p =>， 则12()AB p y y =++； 若抛物线为22(0)x py p =->，则12()AB p y y =-+． 有关性质： ①124px x =和212y y p =-. 2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩2220p y y p k ⇒--=和22222(2)04k p k x k p p x -++=212y y p ⇒=-和124x x ②若已知过焦点的直线倾斜角θ，则22sin pAB θ=；当θ=900时，|AB |的最小值等于2p ，这时的弦叫抛物线的通径．（过焦点且垂直于对称轴的相交弦）.③以AB 为直径的圆必与准线l 相切．④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90︒．⑤112AF BF p+=． 要点诠释：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但没有渐进线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1. 要点二：抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程 y 2=2px （p ＞0） y 2=－2px （p ＞0） x 2=2py （p ＞0） x 2=－2py （p ＞0）顶点 O （0，0）范围 x ≥0，y R ∈x ≤0，y R ∈y ≥0，x R ∈y ≤0，x R ∈ 对称轴 x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离心率 e =1准线方程 2px =-2p x = 2p y =-2p y = 焦半径 0||2p MF x =+ 0||2pMF x =- 0||2p MF y =+0||2pMF y =-要点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程．要点三：直线和抛物线的位置关系 1． 点和抛物线的位置关系将点P (x 0，y 0)代入抛物线y 2=2px (p >0)：若2020y px ->，则点在抛物线外； 若202=0y px -，点在抛物线上； 若2020y px -<，则点在抛物线内．2． 直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x （或y 的）方程组：Ax 2+Bx +C =0（或Ay 2+By +C =0），其中A ，B ，C 为常数若A =0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点； 若A ≠0，计算判别式2=4B AC ∆ ：若0∆>，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若=0∆，则直线和抛物线相切（有一个交点）； 若=0∆，则直线和抛物线相离（无交点）； 2． 判断直线和抛物线位置关系的操作程序：要点诠释：（1）在判断直线和抛物线位置关系时，不要忽略直线和抛物线的对称轴平行的情况； （2）若直线和抛物线相交于点()111,P x y ，()222,P x y ，则相交弦的弦长()()22212121212||1|1+4PP k x x k x x x x ⎡⎤=+-+-⎣⎦或()2121212122211||1|14(0)PP y y y y y y k k k ⎛⎫⎡⎤=+-=++-≠ ⎪⎣⎦⎝⎭． 要点四：抛物线的光学性质过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线． 抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角．如图．抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F 处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的【典型例题】类型一：抛物线的几何性质【高清课堂：双曲线的方程 358821例1】 例1． （1）写出抛物线214y x =的焦点坐标、准线方程； （2）已知抛物线的焦点为(0,2),F -写出其标准方程；（3）已知抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程． x y 平行于轴法线切线O【解析】（1）抛物线214y x =的标准方程为24x y =，因为2p =4，所以焦点坐标为（0，1），准线方程为1y =-．（2）因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p=2，所以4p =，从而所求抛物线的标准方程为28x y =-． （3）由已知得3p =，所以所求抛物线标准方程为26y x =，焦点坐标为3(,0)2，准线方程为32x =-．【总结升华】讨论抛物线的方程和几何性质时要注意抛物线的焦点轴和几何量,,22pp p 的 区别与联系．举一反三：【变式】已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程【答案】因为p =3，所以焦点坐标是3(,0)2准线方程是32x =-例2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （M ，－3）到焦点的距离为5，求M 的值、抛物线的方程和准线方程．【解析】解法一：因为顶点在原点，对称轴是y 轴，点M （M ，－3）位于第三或第四象限故设抛物线方程为x 2=－2py （p ＞0），则焦点(0,)2pF -；∵M （M ，－3）在抛物线上且|MF |=5， 故2226(3)52m pp m ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，解得426p m =⎧⎪⎨=±⎪⎩， ∴26m =±，抛物线方程为x 2=－8y ， 准线方程为y =2．解法二：如图所示：设抛物方程为x 2=－2py （p ＞0），则焦点(0,)2p F -，准线:2pl y =，作M N ⊥l ，垂足为N ，则|M N|=|MF |=5，而||32pMN =+， ∴352p+=，∴p =4， 由M 2=－8 (－3)，得26m =±． ∴26m =±，抛物线方程为x 2=－8y ， 准线方程为y =2．【总结升华】抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素 举一反三：【变式1】设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－2【答案】B【变式2】若抛物线22y ax =的焦点与椭圆22184x y +=的右焦点重合，则a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-4D ．4类型二：直线和抛物线的位置关系例3． 已知抛物线的方程为2=4y x ，直线l 过定点(-2,1)P ，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线2=4y x ： （1）只有一个公共点；（2）两个公共点；（3）没有公共点?【思路点拨】先定数，在定量：画出草图，确定与抛物线有一个、两个、没有公共点的直线条数；再设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，消元，判断一元一次方程或一元二次方程解的个数，从而确定k 的值． 【解析】设直线l 的方程为：()12y k x -=+，联立()2124.y k x y x ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩，， 整理得24840ky y k ++= ①．当k =0时，方程①有一个解，此时直线l 方程为y =1，与抛物线有一个公共点； 当k 0≠时，方程①为一元二次方程，判别式()2=1621k k ∆+ ， 当0∆>，即112k <<时，方程①有2个不同的解，所以此时直线l 与抛物线有2个公共点； 当=0∆，即1k = 或12k <时，方程①有1个解，所以此时直线l 与抛物线有1个公共点； 当0∆<，即<1k 或12k >时，方程①有没有解，所以此时直线l 与抛物线有没有公共点； 综上所述，当k =0或1k = 或12k <时，直线l 与抛物线只有1个公共点； 当112k <<时，直线l 与抛物线有2个公共点； 当<1k 或12k >时，直线l 与抛物线有没有公共点． 如图：【总结升华】直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．【变式1】过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线有（ ）A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 无数多条 【答案】C【变式2】已知抛物线方程y 2=4x ，当b 为何值时，直线l ：y =x +b 与抛物线：(1)只有一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点． 当直线与抛物线有公共点时，b 的最大值是多少?【解析】联立y =x +b 和y 2=4x ，消去x ，可得一元二次方程：2440y y b +=当()=161=0b ∆ ，即b =1时，直线和抛物线只有一个公共点； 当()=161>0b ∆ ，即b <1时，直线和抛物线有两公共点； 当()=161<0b ∆ ，即b >1时，直线和抛物线没有公共点． 当直线和抛物线有公共点时，b ≤1，所以b 的最大值是1． 类型三：焦点弦和焦半径例4． 斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求焦点弦长AB 的长． 【解析】方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)， 所以直线AB 的方程为01(1)y x -=⋅-，即1y x =-， ① 将方程①代入抛物线方程24y x =，化简得2610x x -+=， 解这个方程，得132x =+232x =-， 将1322x =+，2322x =-代入方程①中，得122y =+2222y =-，即A （322+222+，B （322-222-， ∴22||(42)(42)8AB =+=.方法二：由抛物线的定义可知，|AF |=AD |=1x ＋1， |BF |＝|B C|=2x ＋1，于是|AB |=|AF ＋|BF |=1x ＋2x ＋2． 在方法一中得到方程2610x x -+=后，根据根与系数的关系可以直接得到 1x ＋2x ＝6， 于是立即可以求出|AB |=6＋2=8．方法三：抛物线24y x =中24p =，直线的倾斜角为4π 所以焦点弦长224==81sin 2p AB θ=. 【总结升华】求抛物线弦长的一般方法： ①用直线方程和抛物线方程列方程组；②消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，求根与系数的关系式，而不要求出根，代入弦长公式()()22212121212||1|1+4PP k x x k x x x x ⎡⎤=+-+-⎣⎦特别地，若弦过焦点，即为焦点弦则据定义转化为|AB | ＝ x 1＋x 2 +p 或|AB | ＝y 1＋y 2+p ．结合②中的关系式可求解．体现了转化思想．【变式1】求抛物线22y px =的焦点弦长的最小值．【解析】设焦点弦所在直线的倾角为θ，则直线AB 的方程为：cos sin ()2py x θθ=-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2cos sin ()22p y x y pxθθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222222sin (2cos sin )sin 04p x p x θθθθ-++= 22122(2cos sin )sin p x x θθθ+∴+= 112AB AF BF x x p ∴=+=++2222(2cos 2sin )2sin sin p pθθθθ+== 当2sin 1θ=，即2πθ=时，AB 取最小值2p ．【变式1】已知AB 为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点弦，若|AB |=m ，则AB 中点的横坐标为__________． 【解析】AQ ⊥BQ ，P 为Rt △AQB 斜边中点，∴|PQ |=||22AB m =． 设AB 中点的横坐标为x 0，则|P Q|=x 0+2p． ∴x 0+2p =2m ， 得x 0=2m p -． 所以AB 中点的横坐标为2m p-．【变式2】抛物线y2=4x的过焦点的弦长163，则此弦所在直线的倾斜角为__________．【解析】设弦所在直线斜率为k，由y2=4x得焦点F(1，0)，则直线方程为y=k(x-1)．联立y=k(x-1)和y2=4x，消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，由韦达定理得x1+x2=2224kk+，由抛物线定义知弦长d=x1+x2+p=2224kk++2=163，解得k∴倾斜角为60°或120°．。