解 借助函数与它的反函数之间的关系
可以破解此题. 设牌号数为自变量 x , 以表演者说的计
算方法为对应法则 ,得函数 y = 5 (2 x + 3) - 25 ,即 y = 10 x - 10 (1) 由题意知 , 定义域为{ 1 , 2 , 3 , …, 13} , 易
算出该函数值域ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ{ 0 ,10 ,20 , …,120} . 求 (1) 的反函数 ,可得 :
(江苏省阜宁师范学校张守江提供 224400)
概率与统计 (诗一首)
概率统计重概念 , 思想方法要熟练 . “随机”“、必然”“、不可能”, 三种事件要分辨 . “等可能性”求概率 , 排列组合能实现 . “互斥”“、对立”“、互独立”, 异同关系紧相连 . 随机变量分布列 , 期望 、方差是重点. 统计抽样有三法 , “随机”“、系统”与“分层”. 正态分布重实用 , 线性回归能预言 . 概念 、公式牢记住 , 分析 、计算真方便. (江西省南昌市第十中学黄健提供 330006)
x
=
f
-
1 ( y)
=
1 10
y
+1
(2)
其中 , y ∈{ 0 , 10 , 20 , …, 120} , x ∈{ 1 , 2 ,
3 , …,13} .
当你把函数值 y 告诉表演者后 , 他很快 就从反函数式 ( 2) 求得对应的 x 值 , 即为你 的牌号数. 比如 , 你计算出的 y 值为 0 , 他马 上从反函数式中得出 x = 1 ,便猜出你拿了 A 牌 ;若你计算出的 y 值为 120 , 他从反函数式 中得出 x = 13 , 便猜出你拿的是 K 牌 , 其余 同理可知.
对“巧算星期几”一文的补充 贵刊 2001 年第 23 期发表了李永老师的 一篇短文“巧算星期几”. 文中提出了用一组 吉祥 数 字 ———1440 , 2503 , 6146 , 来 换 算 出 2002 年中任何一天是星期几的方法. 即欲知 2002 年 m 月 n 日是星期几 , 只须拿出吉祥 数字中第 m 个 , 用它与 n 相加 , 被 7 除所得 的余数即为星期数. (规定 :余数为 0 时 , 为星 期日) 那么 , 怎样才能得到这样的吉祥数字呢 ? 下面我们就以 2003 年为例加以说明. 找一张 2003 年的日历表 , 查一下某月 1 日是星期 几 ,然后就用这个“几”减去“1”就得到了该月 的吉祥数字. 例如查出 1 月 1 日是星期三 , 则
例 1 魔术师精湛的表演过程是这样
的 :表演者手里持有 6 张扑克牌 (不含王牌和 牌号数相同的牌) ,叫 6 位观众每人从他手里 任摸一张 , 并嘱咐摸牌时看清和记住自己的 牌号数. 牌号数是这样规定的 : A 为 1 , J 为 11 ,Q 为 12 , K 为 13 ,其余的以牌上的数值为 准. 然后 ,表演者叫他们按如下的方法进行计 算 :将自己的牌号数乘 2 加 3 后再乘 5 , 再减 去 25 , 把计算结果告诉表演者 , 表演者便能 立即准确地猜出你拿的是什么牌. 请你利用 所学的函数知识解释这种现象.
数学婚联三则
实数虚数两数搭配已成对 ; 内心外心双心结合正同心. 正数负数指数对数数数都成对 ; 实线虚线直线曲线线线均结偶. 欧氏几何罗氏几何测算今生缘结几何 ? 指数方程对数方程解得一世缘定方程 ! (湖北十堰郧阳中学 邹本俭提供)
由 3 - 1 得 1 月的吉祥数字为 2 ;查出 3 月 1 日是星期六 ,则由 6 - 1 得 3 月的吉祥数字为 5 ;查出 6 月 1 日是星期日 , 则由 7 - 1 得 6 月 的吉祥数字为 6 ; 以此类推可得其他各月的 吉祥数字. 把 2003 年的吉祥数字按月份的先 后顺序写出来 , 就是 :2551 , 3614 , 0250. 用上 述方法 ,你可以求出任何一年的吉祥数字.
按 ②的取法 , ∵ ( a3 + a2 b) - ( a2 b + b3 ) = a ( a2 + b2) - b ( a2 + b2) = ( a - b) ( a2 + b2) , ∴类似于 ①的分析知 , 这种取法也无必 胜的把握. 按 ③的取法 , ∵ ( a3 + b3) - ( a2 b + ab2) = ( a + b) ( a2 - ab + b2) - ab ( a + b) = ( a + b) ( a2 - 2 ab + b2) = ( a + b) ( a - b) 2 , 又 a ≠b , a > 0 , b > 0 , ∴ ( a + b) ( a - b) 2 > 0 , 即 a3 + b3 > a2 b + ab2 . 故先取 A , D 是唯一必胜的方案. 说明 十分有趣的是 , 本游戏规则中隐 含了一道课本习题 :已知 a > 0 , b > 0 , a ≠b , 求证 : a3 + b3 > a2 b + ab2 . (湖北襄樊市第一中学王勇提供 441000)
解 依题意可知 A , B , C , D 四个容器 的容积分别为 a3 , a2 b , ab2 , b3 . 从四个容器 中任取两个的个数是 C24 = 6 , 按游戏规则就 可分为 3 种情形 :
①先取 A , B ,后取 C , D ; ②先取 A , C ,后取 B , C ; ③先取 A , D ,后取 B , C. 需要指出的是 , 也可先取后者 , 再取前 者. 问题的实质是比较容积两两和的大小. 按 ①的取法 , ∵ ( a3 + a2 b) - ( ab2 + b3) = a2 ( a + b) - b2 ( a + b) = ( a - b) ( a + b) 2 , 显然 ( a + b) 2 > 0 , 而 a 与 b 的大小不确 定, ∴ ( a - b) ( a + b) 2 的正负不能确定. 即 a3 + a2 b 与 ab2 + b3 的大小不定. 这 种取法无必胜的把握.
例 2 现有 A , B , C , D 四个长方体容 器 , A , B 的底面积均为 a2 , 高分别为 a 和 b , C , D 的底面积均为 b2 , 高分别为 a 和 b (其 中 a ≠b) ,现规定一种游戏规则 :每人一次从 四个容器中取两个 ,盛水多者为胜 , 问先取者 有没有必胜的方案 ? 若有的话有几种 ?
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数 学 通 讯 2003 年第 11 期
数○ 学○ 娱○ 乐○ 圈○
游戏中蕴涵的数学
游戏 是 广 大 中 学 生 乐 于 参 与 的 智 力 活
动 ,是锻炼思维的体操 ,有些同学深谙其中的 玄妙 ,善于利用数学知识去破解 , 因而倍感简 捷明快. 下面给出三道典型例题 , 并结合有关 数学知识予以深刻剖析 , 旨在引导同学们揭 开其中的奥秘.