数学试题第I 卷（选择题 共60分)一、单选题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意） 1．已知x y >，则下列各式中一定成立（ ）A ．11x y <B ．12x y +>C ．11()()22x y> D ．222x y-+>2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且,35,13782==+S a a ，则8a =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．113.一个等差数列共有12+n 项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（ ） A ．30 B ．31 C ．32D ．334．已知数列的通项公式为，它的前项和，则项数等于（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知b a ,是不相等的正数，且0--22=++ab b b a a ，则b a +的取值范围是（ ）A ．)34,0( B ．)34,1( C ．)23,0( D ．)23,1(6．在公比为2的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 7﹣2S 6＝1，则a 1+a 5＝（ ） A ．5B ．9C ．17D ．337若不等式组033x y x y x y a ->⎧⎪+<⎨⎪+>⎩表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8．在ABC ∆中，2AB AC =,AD 是A ∠的平分线，且AC tAD =,则t 的取值范围是( )A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫⎪⎝⎭9．设正实数,,x y z 满足22240x xy y z -+-=，则xy z当取得最大值时，211x y z+-的最大值为（ ）A ．1B ．4C ．94 D ．9210．设x,y 满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则4922b a +的最小值为( ) A ．21 B ．2513 C ．1 D ．211．在数列{}n a 中，21nn a =-，一个5行6列的数表中，第i 行第j 列的元素为ij i j i j c a a a a =⋅++(1,2,,5,1,2,,6)i j ==，则该数表中所有元素之和为（ ）A ．132410-B ．132380-C ．12214-D ．1224-12.已知函数21(01)()(1)(1)x x f x f x m x ⎧-≤≤=⎨-+>⎩在定义域[)0,+∞上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则函数()()g x f x x =-在区间*0,2()n n N ⎡⎤∈⎣⎦上的所有零点的和为（ ）A ．(1)2n n +B ．21122n n --+C ．2(21)2n +D ．21n -第II 卷（非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝7a 1，则{a n }的公比q 的值为_____．14．设ABC ∆的内角A 、B 、 C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，()2cos 3cos a c B C -=，则ABC ∆面积的最大值是__________..15关于x 的一元二次方程01)1-(2=++x m x 在区间[]2,0上有实数解则实数m 的取值范围为______.16．若存在实数,a b ，对任意实数[0,4]x ∈，使不等式x m ax b x m -≤+≤+恒成立，则m 的取值范围为______.三、解答题（本大题共6题，17题10分，18—22题每题12分，共70分）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．18．已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.(1)若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()23f x x <-19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-. (1) 求出数列{}n a 的通项公式；(2) 记(21)(1)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin 4sin 5sin b B a B a A =+.（1）若c =，求角C 的大小；（2）若2a =，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．22．已知函数()()()3log 101x f x x x +=>+的图象上有一点列()()*,n n n P x y n N ∈，点n P 在x 轴上的射影是(),0n n Q x ，且132n n x x -=+(2n ≥且*n N ∈)，12x =. (1)求证：{}1n x +是等比数列，并求出数列{}n x 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式21363n t mt y -+>恒成立，求实数t 的取值范围.(3)设四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是n S ，求证：1211132n S S nS ++⋯+<答案1 ~ 12 DDCDB CDABA AB13.2或﹣3 143315. 1-≤m 1614m ≥ 17.试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝.（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝.从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.18试题解析：（1）当0a =时，()10f x =-<恒成立；当0a ≠时，要使对任意实数x ，()0f x <恒成立，需满足()()20410a a a <⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩， 解得40a ，故实数a 的取值范围为04-≤<a .（2）由不等式()23f x x <-得()2220ax a x -++<， 即()()210ax x --<.方程()()210ax x --=的两根是11x =，22(0)x a a=>. ①当0a <时，20a<，不等式的解为2x a <或1x >；②当0a =时，不等式的解为1x >； ③当02a <<时，21a <不等式的解为21x a<<； ④当2a =时，21a=，不等式无解； ⑤当2a >时，21a >，不等式的解为21x a<< 综上：①当0a <时，不等式的解为{x 2x a<或}1x >； ②当0a =时，不等式的解为{x }1x >；③当02a <<时，不等式的解为{}21x x a<<；④当2a =时，，不等式解集为∅ ； ⑤当2a >时，不等式的解为{}21xx a<< 19（1）2n n S a n =-（n ∈N*）， 可得n ＝1时，a 1＝S 1+1＝2a 1， 即a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1， S n +n ＝2a n ，S n ﹣1+n ﹣1＝2a n ﹣1， 相减可得a n +1＝2a n ﹣2a n ﹣1，可得a n ＝2a n ﹣1+1，即a n +1＝2（a n ﹣1+1），则数列{a n +1}为首项为2，公比为2的等比数列， 可得a n +1＝2n ，即a n ＝2n ﹣1；（2）(21)(1)=(21)2nn n b n a n =-+-⋅前n 项和为T n ＝()1212+32+212n n ⋅⋅-⋅①2T n ＝()23+112+32+212n n ⋅⋅-⋅②① ②相减可得﹣T n ＝2+2(22+…+2n)﹣()+1212n n -⋅=()()114122+221212n n n -+-⋅--⋅-化简可得1(23)26n nT n +=-⋅+20.试题解析：（1）∵sin 4sin 5sin b B a B a A =+，∴22540a ab b +-=，∴5b a =.∵c =，∴2222251cos 2102a b c a C ab a +--===-.∵()0,C π∈，∴23C π=. （2）∵2a =，∴10b =，∴1sin 10sin 2ab C C ==sin 2C =. 当C 为锐角时，由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-=141002210842+-⨯⨯⨯=，∴c =，此时ABC ∆的周长为12+当C 为钝角时，由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-=1410022101242⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =此时ABC ∆的周长为12+21【详解】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①， ()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++. 22.(1)解：由132n n x x -=+(2n ≥且*n N ∈)得()1131n n x x -+=+(2n ≥且*n N ∈)∵113x +=，∴10n x +≠，∴1131n n x x -+=+，(2n ≥且*n N ∈)∴{}1n x +是首项为3，公比为3的等比数列. ∴()111133n n n x x -+=+=.∴31nn x =-，*n N ∈.(2)∵()()3log 3113113n n nn nn y f x -+===-+，∵1113133n n n n y n n y n n++++=⋅=，*n N ∈，又312111n n n n =++->+>，∴11n ny y +<故数列{}n y 单调递减，(此处也可作差10n n y y +-<证明数列{}n y 单调递减) ∴当1n =时，n y 取得最大值为13. 要使对任意的正整数n ，当[]1,1m ∈-时，不等式21363n t mt y -+>恒成立， 则须使()2max 113633n t mt y -+>=，即220t mt ->，对任意[]1,1m ∈-恒成立， ∴222020t t t t ⎧->⎨+>⎩，解得2t >或2t <-， ∴实数t 的取值范围为()(),22,-∞-⋃+∞.(3)()()11313123n n n n n Q Q ++=---=⋅，而3n n n n P Q =， ∴四边形11n n n n P Q Q P ++的面积为()11112n n n n n n n S P Q P Q Q Q +++=+ 11141232333nn n n nn +++⎛⎫=+⋅⋅=⎪⎝⎭()()131211111112123414414414441n nS n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-<-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111111111113131322233411n S S nS n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+<-+-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴故1211132nS S nS ++⋯+<.。