《概率论与数理统计》习题及答案第八章1. 设x.,x2,•••,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，几未知，给泄入〉0和显著性水平a(Ovavl),试求假设H o的力$检验统计量及否建域.解选统汁量*=2人工乙=2如庆则Z2 -Z2(2n) »对于给宦的显著性水平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使加⑵2))=Q因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从而a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2«).2. 某种零件的尺寸方差为O-2=1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米)：，，，，，。

设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米(a = O.O5).解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50Ho的否定域为1“ l> u af2u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺寸是亳米。

3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性水平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。

解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600的否定域为u < -u a/2,其中X-1600 r-r 1580-1600 c , “11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.100 100一叫05 =—1.64.因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.4. 一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 小时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。

?)，问题是检验假设H0://>1000.仏的否定域为w < -H0 05 ,貝中X-1000 /— 950-1000 「u = -------------- (25 = ------------------ x5 = -2.5cr 100w o.o5 = 1 64因为u = -2.5 < -1.64 = z/005所以否泄Ho,即元件不合格.5. 某批矿砂的5个样品中镰含量经测左为X(%):3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24设测泄值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的银含量为3.25(a = 0.01)解问题是在P未知的条件下检验假设H. : // = 3.25H o的否泄域为lfl>也⑷_ 1 5 _X =3.252, s'=_(工X” -5X X2)=O.OOO17, 5=0.0134 r-l/().oo5 ⑷=4.6041X-3.25 ,7 3.252-3.25 …t = ------------- >/5 = ----------------- x 2.24 = 0.345S0.013因为1/1= 0.345 < 4.6041 = Z0005(4)所以接受Ho,即可以认为这批矿砂的银含虽:为.6. 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下:99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5问该日打包机工作是否正常（a = 0.05；已知包重服从正态分布）_ 1 9解 X =99.98> S 2=-（22（X,. -x ）2） = 1.47, S = 1.21 ,8 z-i问题是检验假设H o :// = 1OO 的否定域为iM>r tf/2（8）. 其中 _Z =X-100^=99.98-100X 3 = _005S 1.21仏§ ⑻= 2.306 因为”1=0.05 <2.306 =心25 （8） 所以接受Ho,即该日打包机工作正常.7. 按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21 亳克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：亳 克）如下22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25.已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含虽是否合 格。

（a = 0.025）解 设X 为维生素C 的含量，则X ~ N （“，O-2）, 艮=20, S —419.625, S =20.485 , n = \l .问题是检验假设 H o : //>21.（1） H o ://>21.（2） 単择统计呈7并计算其值：X —21 厂 20 — 21 Ct = ----------- y /n = ------------ \JY7 = -0.20S 20.485（3 ）对于给定的tz = 0.025查/分布表求出临界值 fa （"）= /oo25（16） = 2.2・（4）因为-r 0025（16） = -2.20<-0.20 = /o 所以接受即认为维生 素含量合格.8. 某种合金弦的抗拉强度X ~N （“，b?）,由过去的经验知//< 10560（公斤/厘米二），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数 据如下：10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 1058b 10666, 10670.问这批弦笔的抗拉强度是否提髙了（& = 0・05）解 X =10631.4,寸=6558・89 , 5 = 80.99, n = 10 ・问题是检验假设 /70: //< 10560(1): ;/<10560. （2）选统计量并计算其值.=2.772（3） 对于a = 0.05,查/分布表，得临界值=也5（9） = 1.833.（4） 因/（）“ （9） = 1.833 < 2.772 = f,故否泄弘即认为抗拉强度提髙了。

9. 从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得S =0.025,问该批轴 料椭圆度的总体方差与规左的er 1 2 3 = 0.0004有无显著差别（a = 0・05，椭圆度H° : cr 2 =冼=0.0004 ・ 选统i-IMz 2并计算英值2 _ (n-l)S2_ 14x0.00065 枕 0.0004对于给定的a = 0.05,査z'分布表得临界值加2(14)=琉25(14) = 26.119, Z1l a/2(14) = ZJ.975(14) = 5.629.(4)因为加975 =5.629 <22.75 =才V 加025 =26.119所以接受,即总 体方差与规定的o-2 = 0.0004无显著差异。

10. 从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为42, 65, 75, 78, 71, 59, 57, 68, 54, 55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80 （a =0.05,熔化时 间服从正态分布）二解 X=62.4 , S 2 =121.82, « = 10,问题是检验假设 H o :a 2<80.X —10560S10631.4 — 1056080.99服从正态分布)。

解 S = 0.025, 52 =0.00065, n = 15 ,问题是检验假设 H Q : a 2 =0.0004. (1) (2) (3)（2） 选统计量力2并计算其值（^ = 9xl2L82=i3705Zb ：80（3） 对于给左的a = 0.05,査z?分布表得临界值 Z^（«-D = ZJ.O 5 （9）= 16.919.（4） 因^2 = 13.705 < 16.919 = Z j 05,故接受H （）,即可以认为方差不大于80。

11. 对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138, 127, 134, 125： 第二种 134, 137, 135, 140, 130, 134.问是否一种羊毛较另一种好设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态 分布。

（a = 0・05）解 设第一、二种织品的强度分别为X 和丫，则X~N （“，b2）, Y 〜Ngb冷X = 131, S ： =36.667, n x =4 F = 135, S~ = 35.2, n 2 =6 问题是检验假设乩）：“ =〃2（2）选统计量T 并计算其值.= -1.295（3） 对于给定的a = O.O5,査/分布表得临界值匕2（厲+$—2）=^o.o25 ⑻= 2.3069.（4） 因为1/1= 1.295 <2.3069 = 0x5⑻，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。

12. 在20块条件相同的上地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块 土地，其产量（公斤）分别为旧品种，》,,, 新品种（1） H o : cr 25 80 = bj :]（叫-1）S 「+（介2 -1）S[ y n } + _ 2 I WS _ V l i +n 2131 — 135 pT36.66775：35.2V 4+6-2设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量 是否高于旧品种（Q = 0・01） 解 设X 为新品种产量，丫为旧品种产量；X ~Ng b鋼,Y ~Ng cr 2）,问题是检验假设H （）: “ n “2X =79.43, S ： =2.2246,厲=10 Y = 76.23, S ； =3.3245, n 2 =10 T ;J （叫 - 1）S 「+（川2 - 1）S]79.43-76.23一 J （2.2246 + 3.3245）x9对给定的a = 0.01,査f 分布表得临界值：（18）=為（18） = 2.5524. 因为T = 4.2956 > -2.5524 = -仏心8）故接受即新品种髙于旧品13. 两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得 0.345, S ；= 0.357,假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加 工的零件长度的方差无显著差异（a = 0.05）解 S ； = 0.345, q = 6, S ； = 0.357, n 2 = 9 问题是检验假设 H 。