课时跟踪检测 （十五） 函数的单调性层级(一) “四基”落实练1．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (1)＜f (2)＜f (3)，则函数f (x )在(0，＋∞)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．不能确定解析：选D 由于函数单调性的定义突出了x 1，x 2的任意性，所以仅凭区间内几个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．2．(多选)下列函数中在(－∞，－1)上是增函数的是( ) A ．y ＝xx ＋1B ．y ＝1－x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝1－x解析：选AB A 中，y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1在(－∞，－1)上是增函数；B 中，y ＝1－x 2在(－∞，－1)上是增函数；C 中，y ＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14在()－∞，－1上是减函数，D 中，y ＝1－x 在(－∞，－1)上是减函数，故选A 、B.3．函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调递增区间为( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，2)，(4，＋∞) C ．(2,3)，(4，＋∞)D ．(－∞，2]，[3,4]解析：选C 画出f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象如图：由图象可知，函数的单调递增区间为(2,3)，(4，＋∞)，故选C.4．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选D 由题意，函数f (x )＝x 2－2mx ＋1，开口向上，其对称轴x ＝m ，∵在[2，＋∞)上是增函数，∴m ≤2，即实数m 的取值范围为(－∞，2]．5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∩(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选D 因为g (x )＝ax 在区间[1,2]上是减函数，所以a ＞0.因为函数f (x )＝－x 2＋2ax 的图象开口向下，对称轴为直线x ＝a ，且函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以a ≤1.故满足题意的a 的取值范围是(0,1]．6．函数y ＝x |x －3|的单调增区间为__________． 解析：作出函数y ＝x |x －3|的图象如图所示：由函数的图象可知，y ＝x |x －3|的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，32和[3，＋∞)． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32和[3，＋∞) 7．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0]8．函数y ＝f (x )是定义域为R 的增函数，且y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，则不等式|f (x )|＜3的解集为________．解析：∵|f (x )|＜3，∴－3＜f (x )＜3，∵y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)， ∴f (－2)＝－3，f (1)＝3，又∵y ＝f (x )是定义域为R 的增函数， ∴f (－2)＜f (x )＜f (1)， ∴－2＜x ＜1. 答案：(－2,1) 9．已知函数f (x )＝x x －1. (1)求f (f (3))的值；(2)判断函数在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明； (3)当x 取什么值时，f (x )＝xx －1的图象在x 轴上方？ 解：(1)f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫32＝3.(2)函数f (x )在(1，＋∞)为减函数．证明：在区间(1，＋∞)上任意取两个实数x 1，x 2，不妨设1＜x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1).∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－1＞0，x 2－1＞0，x 2－x 1＞0， ∴x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数f (x )在(1，＋∞)为减函数． (3)要使f (x )＝xx －1的图象在x 轴上方， 只需x x －1＞0即可，解得x ＞1或x ＜0.10．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. ∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2. ∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1， ∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．层级(二) 素养提升练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1满足对任意的x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 根据题意知，f (x )在R 上单调递减， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＞0，(a －3)×1＋5≥2a ，解得0＜a ≤2，∴a 的取值范围为(0,2]． 2．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选B ∵f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2，而函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，∴1－2a ＜0，解得a ＞12.3．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1＞0.则f (－1)，f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)的大小顺序是________．(用“＜”连接) 解析：由①知f (1)＝－f (0)，f (0)＝－f (－1)，所以f (－1)＝f (1)． 由③知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，所以函数f (x )在[0,1]上为减函数，结合②知，函数f (x )在[1,2]上为增函数， 所以f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f (2)，即f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f (2)． 答案：f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f (2)4．已知函数f (x )＝ax ＋bx 的图象经过点A (1,1)，B (2，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并用定义证明． 解：(1)∵f (x )的图象过点A (1,1)，B (2，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2a ＋b2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2， ∴f (x )＝－x ＋2x.(2)函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋2x 1－⎝⎛⎭⎫－x 2＋2x 2＝(x 2－x 1)＋⎝⎛⎭⎫2x 1－2x 2＝(x 2－x 1)＋2(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1x 2＋2)(x 2－x 1)x 1x 2.由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2＞0，x 1x 2＋2＞0， 由x 1＜x 2，得x 2－x 1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )＝－x ＋2x在(0，＋∞)上是减函数．5．若f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，f (x )＞0. (1)判断并证明函数的单调性；(2)若f (2)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＜2. 解：(1)函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 证明：令x ＝x 1，y ＝x 2，且x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1.由题意知，f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)．又∵当x >1时，f (x )＞0，∴f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0.∴f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数．(2)令x ＝4，y ＝2，由题意知，f ⎝⎛⎭⎫42＝f (4)－f (2)， ∴f (4)＝2f (2)＝1×2＝2.∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f [x (x ＋3)]＜f (4)． 又∵f (x )是增函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋3)＜4，x ＋3＞0，1x ＞0.∴0＜x ＜1.。