令 2 k
m
动力学方程
d2 dt
x
2
2
x
0
4
二、微振动的简谐近似
1. 单摆
c
平衡位置为坐标原点 恢复力矩 M mglsin 泰勒级数展开
l l
T
sin 1 3 1 5
3! 5!
mg
m 0
线性恢复力矩 M mgl
M I I m l2
ml
2
d 2
dt 2
mgl
2 g
l
振动是一种普遍的运动形式
机械振动: 物体在某固定位置附近的往复运动, 是物体一种普遍的运动形式 .
广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随 时间作周期性变化.
振动分类
受迫振动
共振
振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动
无阻尼自由振动 无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
2
§4.1 简谐振动的动力学特征
Acos(t 0 2 )
9
周期T：
T 2
频率：
1 T 2
圆频率: 2
固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定频率
弹簧振子
固有圆频率
k
m
固有振动周期
T 2 m
k
单摆
g
l
T 2 l
g
复摆
mgh
I
T 2 I
m gh
10
3. 位相和初位相
(1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性 特征的的物理量
t 时刻
t=0 时刻
0
O x x0 X
x Acos(t 0 )
用旋转矢量定相位 例： x0 = A/2 =? 0 > 0 答：
3
旋转矢量的端点 在坐标轴上的投影才 是谐振动
m
x0
0
x
m
13
用旋转矢量表示相位关系
A2
A1
A2 A1
0
x
0
x
2 1
0 同步
旋转矢量与振动曲线
动力学方程
d 2
dt 2
2
0
5
2.复 摆 M mghsin
M mgh
I
d 2
dt 2
mgh
令2 mgh
I
d 2
dt 2
2
0
o h c
F
6
例: 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证 其在平衡位置附近的振动是谐振动。
证：以平衡位置0为原点，向下为x轴正向 △l 是弹簧挂上重物后的静伸长
d2x dt 2
m
k I
/
R2
x
0
所以，此振动系统的运动是谐振动 16
(2) 系统的振动周期
2
m
k I
/
R2
T 2 2 m I / R2
k
(3)已知t＝0时，x0＝－b，0＝0，可求出
A
x02
2 0
2
b
mg k
0
arctan(
0 x0
)
x mg cos( k
m
k I
/
R
2
t
)
17
例：已知如图示的谐振动曲线，试写出振动方程.
两振动步调相反,称反相
0 2 超前于1 或 1滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x
Acos( t 0 )
A sin( t 0 )
m
cos(
t
0
2
)
a A2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
12
三、简谐振动的旋转矢量表示法
x
A1
0
x
A2
反相
t
14
例: 如图示，轻质弹簧劲度系数为k，一端系一轻绳，
绳过定滑轮挂一质量为m的物体. 滑轮的转动惯量为I，
半径为R.若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后
由静止释放.
(1)试证明物体m的运动是谐振动；
(2)求此振动系统的振动周期；
(3)写出振动方程.
b
解: (1)若物体m离开初始位 置的距离为b时,受力平衡.
0 )
2 k
m
EP
1 2
kx2
1 2
kA2
cos2 ( t
0
)
动能和势能的位相差为
2
谐振动的总能量 E Ek E p
E
1 2
kA2
1 2
m 2 A2
1 2
m
m
2 ax
20
x
x=Acos(ωt＋π)
0
t
E
E 1 kA2 2
t
平均动能
1
EK T
T2/
0
x
mg＝kb
T1/
以平衡位置O为坐标原点，
T1
竖直向下为x轴正向
a
受力分析如图
mg
当物体m在坐标x处时
15
对m： mg T1 ma (1)
对滑轮： T1/ R T2/ I (2)
a R
(3)
T1/ T1
(4)
T2/ k(x b)
(5)
联立得 由加速度
kx
(R
I R2
)a
a
d2x dt 2
振动中最简单最基本的是简谐振动 简谐振动:
一个做往复运动的物体，如果其偏离平衡位置
的位移x(或角位移)随时间t按余弦(或正弦)规律变
化的振动
x＝Acos(t＋0)
运动学方程
x 可作广义理解: 位移、电流、场强、温度…
3
一、弹簧振子模型
0x
x
平衡位置为坐标原点
弹性恢复力（线性回复力）
F= -kx
d2x m dt2 kx
=t+ 0 叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量
(2)初位相: t=0时的位相0
x0
A cos 0
0
A s in 0
(3)位相差
0
tg 1 (
0 x0
)
两振动位相之差 2 1
当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
11
当=(2k+1) , k=0,±1,±2...
解：方法一
x(cm)
设谐振动方程为
4
2
p
x Acos(t 0 )
从图中得：A＝4 cm
0
1 -2
t(s)
-4
t＝0时，x0＝-2 cm，且0＜0，得
2 4 cos0
0 Asin0 0
得
0
2
3
再分析，t＝1 s时，x＝2 cm， >0，
2 4cos( 2 )
3
18
Asin( 2 ) 0
3
得 2 5
33
即 ＝
所以振动方程为 x 4 cos(t 2 )
方法二：用旋转矢量法求解
3
x
2 3
t=0
5 3
x(cm) 4
2
p
0
1
-2
t(s)
-4
19
§4.3 简谐振动的能量
一、简谐振动的能量
振动动能 振动势能
Ek
1 2
m 2
1 2
m2 A2 sin2(t
0)
Ek
1 2
kA2
sin2 (t
kl mg
设某一瞬时m的坐标为x
m
d2x dt 2
k( x
l)
mg
d2x m dt 2 kx
l
0A
x
F
A
动力学方程为
d2 dt
x
2
2
x
0
x
mg
7
§4.2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
微分方程
d2 dt
x
2
2
x
0
运动学方程
x Acos(t 0 )
A、由初始条件所决定
1.速度
dx dt
A sin(t
0 )
A2 x2
2.加速度
a
d
dt
A 2 cos( t
0 )
a 2 x
8
二. 描述谐振动的三个特征量
1.振幅A
由初始条件决定
t=0
x0
A cos 0
0
Asin0
A
x02
02 2
2. 周期T
完成一次完全振动所需的时间
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0