x x 1
3. 无穷小量的等价替换
1). x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x (x 0) 2). x ~ ln(1 x) ~ (ex 1) ( x 0)
3).
(1
cos
x)
~
1 2
x2
(x 0)
lim 例：
1 cos x
x0 (etan x 1) sin x
(C ) 0
(sin x)
cos x (arcsin x)
1 1 x2
( xa )' axa1 (cos x)' sin x (a x )' a x ln a (tan x)' sec2 x(arccos x)'
1 1 x2
(e x )' e x (cot x)' csc2 x
dx du dx
二：求导数和微分
lim lim 1. f '( x0 )
x0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
例：f
(
x)
x
arctan1 x2, Nhomakorabeax
0求f
' (0)
0, x 0
2.复合函数的链式求导法则
1）y sin2 3x;2) y ln tan x2;3) y f (cos x);4) y e f ( x)
Ch3导数和微分
lim lim 1.导数的定义：f '(x0 )
x 0
y x
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
lim 已知 x 0
f ( x0
2x) 3x
f ( x0 )
2 ,则：f 3
'( x0 )
2. 导数的几何意义：切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
(loga
x )'
x
1 ln
a(sec
x
)'
sec
x
tan
x
(arctan
x
)
1
1 x
2
(ln x)' 1 x
(csc
x)'
csc
x cot
x (arc cot
x )'
1
1 x2
1.四则运算法则
1)(cf(x))' cf ' ( x);
2)( f ( x) g( x))' f ' ( x) g' ( x);
3.间断点类型
f ( x) arctan 1 x
f (x)
1
( x 1)( x 2)
（标准：左右极限是否存在）
都存在
第 一
相等
是否
可去间断
类
间 左右极限 断 点 是否存在
间 相等
断 点
跳跃间断
不相等
第 二 类 至少有一 间 个不存在 断 点
可能出现间断的地方： 1)使函数无意义的点； 2)分段函数的分界点
3.隐函数的求导法则
e xy 2 x y2 3
4.幂指函数的对数求导法则
y ln(1 x2 ),求y"
5.高阶导函数
1) y (sin x)x;2) y x2x
6.函数的微分：
dy y'dx
7.微分的近似计算：
f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 )x
三：1 求极值与单调区间的步骤：
3)( f ( x) g( x))' f ' ( x) g( x) f ( x) g'( x)
f ( x) ' f '( x)g( x) f ( x)g'( x)
4)
g(
x)
g2( x)
2.设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [( x)]的导数 为 dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
1. 恒等变型：因式分解，有理化
例：lim( x2 x x)
lim lim x
2. 两个重要极限1)
sin x 1;2)
1
(1 x) x e
x0 x
x0
lim lim 1)
x0
sin 3x x
; 2)
n
3n
sin
x 3n
lim lim 3)
1
(1 5 x) x ;4)
( x 3)x
x0
Ch1-2函数和极限
1.求函数定义域
1) y ln(2x 4) arcsin 2x 1 7
2） 已知f(x)的定义域为[0，1]，求 f ( x2 )的定义域。
2.函数的连续性
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
如果f
(x)
eax
2a,
x
0
在(, )上连续，则a ?
ax 3cos 2x, x 0
上册总复习
考试题型：
1. 选择（2分*5=10） 2. 填空（2分*10=20） 3. 求极限 （5分*3=15） 4. 求导数和微分（5分*6=30） 5. 导数应用：单调性极值；凹凸性拐点（6分*2=12） 6. 导数在经济学中的应用 (7分*1=7) 7. 证明题（6分*1=6）
一：求极限的方法
L'(q) 2q 80=0,q=40 L"(q) 2, L"(40)<0 L(40) 1100
40是函数的唯一极大值点，即最大值点。
当产量是40时利润最大，最大利润为1100。
五：证明题
1、闭区间上连续函数的性质： 最大最小值原理；介值定理；零点定理
2、Rolle Th; Lagrange Th
⑴ 求函数的定义区间； ⑵ 求出函数的所有导数为0和导数不存在的点； ⑶ 上述点将f(x)的定义区间分成若干子区间； ⑷ 列表分析相应的f '(x),讨论单调性、极值情况； ⑸ 写出结论。
f ( x) e x ( x2 2x 1)
2、求函数的凹凸区间和拐点：
(1)求出函数的定义域; (2)求出二阶导数为零或不存在的点; (3)将上述点把定义域分成几个区间, (4)根据各区间内二阶导数的符号,列表 讨论凹凸性。
求 y 1 在点( 1 , 2)处的切线的斜率,
x
2
并写出在该点处的切线方程和法线方程.
y ln(1 x2 )
四、导数在经济学中的应用 工厂生产某种产品，成本函数为C(q) = 20q+ 500， 需求函数为q 100 p,问：产量是多少时利润最大， 最大利润是多少？
解 : L(q) R(q) C(q) (100 q)q (20q 500) q2 80q 500
4. 未定式的洛必达法则
lim lim 0
f (x)
f '(x)
,, 0 xa
g( x)
xa
g'( x)
tan x x
1 2sin x
1)lim x0
x2 sin x
;
2)lim x
sin(
x
)
6
6
lim lim lim 3)
x0
x ln x;4)
x0
11
(
x
e
x
); 5) 1
x0
xx
导数基本公式