2 ( x )
1 ( x )
2 ( y)
f ( x, y )dy
f ( x, y)dx.
dy
c
d
y y 1 ( x) c x o a bx
D
x 2 ( y)
1 ( y)
微积分Ⅰ
第九章
重积分
11
③ 若积分区域既不是 X－ 型区域 又不是 Y － 型区域, 则必须将其分割成 若干个 X－ 型区域或若干个 Y － 型区
y 2 ( x)
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a x0
b y 1 ( x)
x
第九章
重积分
7
∴该截面的面积为
A( x0 )
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f ( x0 , y )dy.
一般地, 过区间 [a, b] 上任一点 x 且平行于 yOz 面
的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
A( x )
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5
2、二重积分化为二次积分的公式 设函数 f (x, y) ≥0, 则由二重积分的几何意义知,

D
f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底, 以曲面 z = f (x, y)
为顶的曲顶柱体的体积. 下面应用第六章中计算“平行截面面积为已知的 立体的体积”的方法, 来求此二重积分. 以积分区域 D 为 X － 型区域为例.
公式.
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10
说明: ① 使用公式 (1) 必须是 X－ 型域, 使用公式 (2) 必 须是 Y － 型域. ② 若积分区域既是 X － 型区域又是 Y－ 型区域,
则有
f ( x, y ) d x d y
dx
a
d
y
y 2 ( x)
D b
x 1 ( y)
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1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
Байду номын сангаас
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
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2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
y 2 ( x )
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
D
y 1 ( x )
a
b
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重积分
3
类似地, 设积分区域 D 可以用不等式
1 ( y ) x 2 ( y ), c x d
来表示, 则称 D 为 Y － 型区域, 其中函数ψ 1 (y)、 ψ 2 (y) 在区间 [c, d] 上连续.
D3
D1
D2
域.
如图, 在分割后的三个区域上分别使用积分公式, 可得
f ( x , y )dxdy
D
f ( x , y )dxdy f ( x , y )dxdy f ( x , y )dxdy .
D1 D2 D3
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3、交换二次积分次序的步骤 为计算方便, 可选择积分次序, 必要时还可以交换 积分次序. ① 对于给定的二次积分 a dx 域 D; ② 根据积分区域 D 的形状, 按新的积分次序确定 积分限 1 ( y ) x 2 ( y ), c x d ; ③ 写出结果
D c
d
2 ( y)
1( y)
f ( x , y )dx ]dy .
上式右端的积分称为先对 x、后对 y 的二次积分, 这个积分也常记作
f ( x, y )d
D
d
c
dy
2 ( y)
1( y)
f ( x , y )dx
( 2)
这就是把二重积分化为先对 x、后对 y 的二次积分的
第九章
重积分
1 1 x
13
例 1 改变积分 0 dx 0
f ( x, y )dy 的次序.
b
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )dy, 可先
根据其积分限 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b, 画出积分区

微积分Ⅰ
b
a
dx
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy dy
c
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y)dx.
x 1 ( y)
d
d
D
x 2 ( y)
x 1 ( y)
c
c
D x ( y) 2
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4
X － 型区域的特点: 穿过区域 D 内部且平行于 y 轴的直线与区域 D 的边界相交不多于两点. Y － 型区域的特点: 穿过区域 D 内部且平行于 x 轴的直线与区域 D 的边界相交不多于两点.
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
f ( x , y )d a dx ( x ) f ( x, y)dy
D
1
b
2 ( x )
(1)
这就是把二重积分化为先对 y、后对 x 的二次积分的公 式.
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类似地, 若积分区域 D 为 Y－ 型区域, 则有
f ( x , y )d [
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6
在 [a, b] 上任意取定一点 x0, 作平行于 yOz 面的平
面 x = x0, 则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区 间 [ 1 (x0), 2 (x0) ] 为底、曲线 z = f (x0 , y) 为曲边的 曲边梯形.
z
z f ( x, y)
y
A( x0 )
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y)dy.
由计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,
得曲顶柱体的体积为
b
b
V A( x )dx [
a
a
2 ( x )
1 ( x )
f ( x, y )dy]dx.
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2 ( x )
1
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这个体积也就是所求二重积分的值, 从而有等式