最新高三第二次模拟考试
数学试题（文）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂
在其他答案标号。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合U={}0)7(|<-∈x x Z x ，A={1,4,5}，B={2,3,5}，则)(B C A U I =
A.{1,5}B{1,4,6} C.{1,4}D. {1,4,5}
2.平面向量b a ρρ,的夹角为ο
30，a ρ=（1,0），|b |ρ=3，则||b a ρρ-=
A.32
B.1
C.5
D.
2
2
3. 欧拉在1748年给出了著名公式θθθsin cos i e i +=（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式θθθsin cos i e i +=，任何一个复数z=)sin (cos θθi r +，都可以表示成
θ
i re z =的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数312π
i
e z =，2
22πi
e z =，则复数2
1
z z z =
在复平面内对应的点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 155=S ，639=S ，则4a =
A.3
B.4
C.5
D.7
5．已知“q p ∧”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是
A.q p ∨
B.）（）（q p ⌝∧⌝
C.q p ∨⌝）（
D.）（）（q p ⌝∨⌝
6.ο
οοο40cos 80cos 40sin 80sin -的值为（ ）
A.23-
B.21-
C.2
1D.23 7. 如图，B,D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB=1+t ，AD=2+t ，则→
→
⋅BD AC =
A.1
B. 2
C. t
D. 2t
8. 已知双曲线)00(12222>>=-b a b y a x ，，若焦点F(c ，0)关于渐近线x a b
y =的对称点在另一条渐近线
x a
b
y -
=上，则双曲线的离心率为 A.2B. 2 C.3D.3
9.函数()x f =x x cos |lg |-的零点个数为
A. 3
B.4
C. 5
D. 6
10.已知圆C ：12
2
=+y x ，点P 在直线l ：y=x+2上，若圆C 上存在两点A,B 使得→
→=PB PA 3，则点P 的横
坐标的取值范围为（ ）
A.[-1,
21]B.[-2,2
1
]C.[-1,0]D.[-2,0] 11. 四棱锥M-ABCD 的底面ABCD 是边长为的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A-BCM 的体积的最大值是
A.48
B. 36
C.30
D. 24
12. 已知函数()x f =1--ax e x ，()x g =)1ln(-x
e ，若0x ∃()∞+∈，
0，使得()()00lg x f x f >成立，则a 的取值范围是
A. （0，+∞）
B.（0,1）
C.（1，+∞）
D.[1,+∞)
第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
）
13.如图，圆中有一内接等腰三角形，且三角形底边经过圆心，假设在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影
部分的概率为。
14.P 为抛物线x y 42
=上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M （7,8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为。
15.三棱锥P-ABC 中，ABC ∆为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA ⊥PB ，三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为。
16.给出下列命题：①若|b a ρρ+=|a ρ|-|b ρ|，则存在实数λ，使得a b ρρλ=；
②2log 31=a ,3log 2
1=b ，5
.031⎪⎭⎫
⎝⎛=c 大小关系是c>a>b ；
③已知直线：1l ax+3y-1=0，：2l x+by+1=0，则21l l ⊥的充要条件是3-=b
a
； ④已知a>0,b>0，函数b ae y x
+=2的图象过点（0,1），则
b
a 1
1+的最小值是24，
其中正确命题的序号是。
三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知{}n a 为等差数列，且满足831=+a a ，1242=+a a 。
（I ） 求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若k k S a a ,,13+成等比数列，求正整数k 的值。
18. （本小题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图
如图，其中甲班学生的平均分是85.
（I ） 计算甲班7位学生成绩的方程2
s ；
（Ⅱ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率。
19. （本小题满分12分）
如图，张方形ABCD 的边长为22，E,F 分别是AB,AD 的中点，M,N 是平面ABCD 同一侧的两点，MA ⊥平
面ABCD ，MA//NC ，MA=NC=3.
（I ） 设AC I BD=O,P 为NC 上一点，若OP//平面NEF ，求NP:PC ； （Ⅱ）证明：平面MEF ⊥平面NEF
20. （本小题满分12分）
已知P （1，-1）在抛物线C;2
ax y =上，过点P 作两条斜率为互为相反数的直线分别交抛物线C 于点A ，B （异于点P ）。
（I ） 求抛物线C 的焦点坐标。
（Ⅱ）记直线AB 交y 轴于点（0，0y ），求0y 的取值范围。
21．（本小题满分12分）
已知函数()x f =1
2++x bx ax ，())1ln(+=x x g ，曲线y=()x f 在点（1，()1f ）处的切线方程是5x-4y+1=0.
（I ） 求a ，b 的值；
（Ⅱ）若当x ∈[0,+∞)是，恒有()x f ≥k ()x g 成立，求k 的取值范围；
（Ⅲ）若5=2.2361，试估计4
5
ln 的值（精确到0.001）
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B,C 两点，且AB=
3
1
AC ，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，∠EBC=ο30.
（I ） 求AF 的长； （Ⅱ）求证：AD=3ED.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=-=t y t x 23221（t 为参数），若以原点O 为极点，x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为θρcos 4=，设M 是圆C 上任一点，连结OM 并延长到Q ，设|OM|=|MQ|。
（I ） 求点Q 轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与点Q 轨迹相交于A,B 两点，点P 的直角坐标为（0,2），求|PA|+|PB|的值。
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()x f =|x-1|
（I ） 解不等式()x f +()4-x f ≥8；
（Ⅱ）若|a|<1,|b|<1，且a ≠0，求证：()ab f >|a|⎪⎭
⎫
⎝⎛a b f .。