文科数学试题 第1页（共6页） 文科数学试题 第2页（共6页）
绝密★启用前|
2019年第三次全国大联考【新课标Ⅰ卷】
文科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集R U =，集合{|3}A x x =>，
{|ln 1}B x x =>，则()U A B =ð
A ．[e,)+∞
B ．[3,)+∞
C ．(1,3]
D ．(e,3]
2．设实数,m n 满足35i
i 1i
m n ++=
-，则2m n +
= A ．3 B ．2
C ．5
D ．6
3．已知等差数列{}n a 满足：310a =，722a =，则数列1
{(1)}n n a +-⋅的前40项和为
A ．60-
B ．60
C ．120-
D ．120
4．运行如图所示的程序框图，m 为常数，若输出的k 的值为2，则m=
A ．
50
3
B ．
50
7
C ．
10
3
D ．
100
7
5．设函数2
||4()3
x x f x =，则函数()f x 的图象大致为
6．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点
E 是线段BD 上靠近D 的三等分点，
F 是线段BD 的中点，则
AF CE ⋅=
A ．4
-
B ．3-
C ．6-
D ．2-
7．设定义域为R 的奇函数()f x 满足(2)(1)f x f x +=-，若(1)1f =，则62
()i f i ==∑
A ．0
B ．1
C ．41
D ．42
8．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与M '关于x 轴对称，
12M F MF '⊥.若122,
,MF MF b
k k a
成等比数列（其中1MF k 2,MF k 分别是直线12,MF MF 的斜率）
，则双曲线C 的离心率为
A ．
2
B C D ．3
文科数学试题 第3页（共6页） 文科数学试题 第4页（共6页）
9．欧拉三角形定义如下：ABC △的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形.已知ABC △中，3,2AB AC BC ===，ABC △的垂心为P ，,,AP BP CP 的中点分别为111,,A B C ，111A B C △即为ABC △的欧拉三角形，往ABC △中随机投掷一点，该点落在11PA B △或
11PB C △内的概率为
A ．
1
9
B ．
1
8
C ．
532
D ．964
10．正三棱柱111ABC A B C -中，12
AA AC =，点D 是线段1AA 的中点，O 是ABC △的中心，则直线OD
与直线1BC
所成角的余弦值为
A ．
5 B ．5 C ．5 D ．
5
11．已知函数()2cos()f x x ωϕ=+π(0,0)2ωϕ><<
的图象的一条对称轴为π
3
x =，ϕ满足条件π
3tan 2sin()2
ϕϕ=+，则ω
取得最小值时函数)(x f 的最小正周期为
A
．π2 B ．π5
C ．π
D
．
4π
5
12．已知圆锥OO '如图所示，,,,A B C D 在圆O '
上，其中2OA =，则四棱锥O ABCD -体积的最大值为
A ．
9
B ．
27 C ．
27 D ．3
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题
5分，共20分）
13．为了调研甲、乙、丙三个地区公务员的平均工资，研究人员拟采用分层抽样的方法在这三个地区中抽
取m 名公务员进行调研.已知甲、乙、丙三个地区的公务员人数情况如下表所示，且甲地区的公务员被抽取了15人，则丙地区的公务员被抽取了____________人.
14．设实数,x y 满足330
2930x y x y x -+≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则z x y =-的最大值为____________.
15．已知圆C 过点(6,0),(6,8)-，且与x 轴交于点,M N .若||6MN =，则圆C 的圆心坐标为____________.
16．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且59a =，10100S =.若数列{}n b 满足
1
(21)1
2
n
i
i n n
i b a =+-=∑，则
满足8k k b S ≥的k 的最小值为____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<
，6
3=b ，22a c +- sin sin tan A C B 1
12
=
. （1）求内角B 的大小；
（2）求)2)(2(b c a b c a -+++的最大值. 18．（本小题满分12分）
如图所示，三棱柱1
11ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,,M N P 分别是棱111,,BC CC B C 上的点，且1190AMN A PC ∠=∠=︒. （1）求证：1AM B C ⊥；
（2）若ABC △为等边三角形，124AA AB ==，求三棱锥1M A PN -的体积.
文科数学试题 第5页（共6页） 文科数学试题 第6页（共6页）
19．（本小题满分12分）
为了了解某校高三年级800名学生的体能状况，研究人员在该校高三学生中抽取了10名学生的体能测试成绩进行统计，统计结果如图所示（满分100分），已知这10名学生体能测试的平均成绩为85分.
（1）求m 的值以及这10名学生体能测试成绩的方差；
（2）若从上述成绩在90分以下的学生中随机抽取3名，求恰有1人成绩为82分的概率；
（3）为了研究高三男、女生的体能情况，现对该校高三所有学生的体能测试成绩进行分类统计，得到的数据如下表所示：
试判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否超过80分与性别具有相关性.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
临界值表：
20．（本小题满分12分）
已知椭圆2
2:12
x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点(2,0)-且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.
（1）求直线l 的斜率的取值范围；
（2）若点P 在椭圆C 上，且1,,N F P 三点共线，求证：点M 与点P 的横坐标相同.
21．（本小题满分12分）
已知函数1
()ln f x m x x x
=--
. （1）若4m =，求证：函数()f x 有且仅有2个零点； （2）若关于x 的不等式2
()0e
f x +
≤在(0,)+∞上恒成立，其中e 是自然对数的底数，求实数m 的取值范围.
参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099,ln 5 1.609===.
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴的直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2
x y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），
曲线1C 在点),(00y x P 处的切线l 的极坐标方程为θ
θρsin 2cos 323
-=.
（1）求切线l 的直角坐标方程及切点P 的直角坐标；
（2）若切线l 和曲线:2C 016sin 6cos 342
=+--θρθρρ相交于不同的两点B A ,，求
1||PA +1||
PB 的值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|3||1|f x x mx =-++.
（1）若3m =，求不等式()7f x ≤的解集；
（2）若不等式()4f x x ≤-的解集包含[1,3]，求实数m 的取值范围.。