1.1.2 几种特殊形式的光波
解
f f1 (r vt ) f 2 (r vt ) r r
(1.1-19)
单色球面光波
A1 E cos( t kr ) r
f1(rvt) — 从原点沿 r 向外发散的球面光波； f2(r+vt) — 向原点(点光源)传播的会聚球面光波。
可以看出：球面光波的振幅与球面的曲率半径 r成反比。
对于各向同性均匀介质并考虑到 (1.1-8)式，可得
同理得
E 2 E 0 2 0 t 2 H 2 H 0 2 0 t
2
(1.1-12a)
(1.1-12b)
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
令
v 1

(1.1-13)
波动方程
1 E 2 v 1 2 H 2 v
第1章
光在各向同性介质中的传播
本章内容
1.1 光波的特性
1.2 光波在介质界面上的反射和折射 1.3 光波在金属表面上的反射和折射
1.1 光波的特性 主要内容
1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组 1.1.2 几种特殊形式的光波 1.1.3 光波场的时域频率谱
1.1.4 相速度和群速度
1.1.5 光波的横波性、偏振态
f 0 pq f f1 ( p ) f 2 (q ) f1 ( z vt ) f 2 ( z vt )
2
(1.1-22)
1.1.2 几种特殊形式的光波
f 1 (zvt) 表示沿 z 方向以速度 v 传播的波 ——右行波。 f 2 (z+vt) 表示沿 z 方向以速度 v 传播的波——左行波。
1 I S T

T
0
S dt
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
将(1-18)式代入， 进行积分可得
I S 1 n 1 2 E0 2 0 c 2
2 2 E0 E0 0
(1.1-19)
式中， n /(20c) / 0 / 2 是比例系数。 即在同一种介质中
· 曲率中心在正无限大和负无限大之间连续变化； · 在垂直光传播轴线的平面内光场振幅分布遵循高斯分布。
1.1.2 几种特殊形式的光波
圆柱坐标系下，波动方程的形式：
2 1 2 1 2 r 2 r r z 2 v 2 t 2 E 0
基模圆高斯光束的标量波解
B E t D H t
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
对(1.1-10)式两边取旋度，并将(1.1-11)式代入，可得
E ( E ) 0 2 t
2
利用矢量微分恒等式
2 （ A） ( A) A
x
k

z
~ E
O
则与之相应的相位共轭光波的复振幅可表为:
~ * i0 ikx sin i0 ikx sin( ) E E0e e E0e e
该式表明：此相位共轭光波是与波来自同一侧的平面光 波，其波矢量也平行于xOz平面、并且与z轴夹角为 。 对照(1-30)式，可将(1-28)式的 复数共轭写成下列形式：
i(ωt kr 0 ) E E0e
(1.1-29)
相应复振幅
~ i(kr E E0 e 0 )
(1.1-30)
假定平面光波的波矢量 k 平行于xOz平面，则在 z = 0
平面上其复振幅可表 为：
为 k与 z 轴的夹角，
~ i0 ikx sin E E0e e
A1 单色球面光波的波函数 E cos(t kr) r A1 i (t kr ) 复数形式为 E e r
1.1.2 几种特殊形式的光波
3. 柱面光波
一个各向同性的无线长线光源，向外发射柱面光波，等 相位面是以线光源为中心轴、随距离的增大而逐渐展开的同 轴圆柱面。 圆柱坐标系中波动方程
t z e E0 cos[ 2π( )] T
(1.1-23)
1.1.2 几种特殊形式的光波
2）单色平面光波
② 复数表示
i(ωt kz) E E0e
则 又
(1.1-24)
i(ωt kz) i(ωt kz) 2 E E E0e E0e E0 ikz iωt ~ iωt E E0 e e Ee
1.1.2 几种特殊形式的光波
1. 平面光波
1）波动方程的平面光波解
直角坐标系
2 2 2 2 2 2 2 x y z
假设 f 不含 x 、y 变量，则波动方程可表示为 2 2 f 1 f (1.1-21) 2 2 0 2 z v t 改写为
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
由(1-10) 式，平面光波场有： E0 H0
n 2 2 S sz E0 cos (t kz) 0c
(1.1-18)
该式表明，平面光波的能量沿 z 方向以波动形式传播。 实际应用中，通常用能流密度的时间平均值〈S〉表征 光电磁场能量传播的平均效果，并称其为光强，以 I 表示。 如果光电探测器的响应时间为T ，则
Ultrviolet
1017 1016 1015 1014
Infra-red
1013 1012
Microwave
1011 1010 109
Radio waves
108 107 106
Longwaves


频率(Hz) 1021
1018
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
2. Maxwell方程
1.1.2 几种特殊形式的光波
2. 球面光波
一个各向同性的点光源，向外发射球面光波，等相位面 是以点光源为中心、随距离的增大而逐渐扩展的同心球面。
采用标量波理论，且令 f = f (r, t) ， 波动方程的形式为
2 1 f 2 f 2 2 0 v t
球坐标系下
1 2 f 1 2 f r 2 2 0 2 r r r v t
E0 w2 ( z ) E00 (r , z , t ) e e w( z )
r2
2 r z arctan z i k 2R( z) f i t
e
光斑半径：中心振幅值下降到1/e的点所对应的光斑宽度。
1.1.4 相速度和群速度
1.1.5 光波的横波性、偏振态
1.1.2 几种特殊形式的光波
交变电场 E和交变磁场 H 所满足的波动方程一般形式： 2 1 f 2 f 2 2 0 (1.1-20) v t
对于不同的边界条件（或者边值条件），其 解的具体形式不同。
说明：只讨论电场矢量 E
2
E 0 2 t 2H 0 2 t
2
(1.1-14)
真空中的光速 介质折射率
c
1
0 0
2.99792108 m/s
n
c v
r r r
(1.1-16)
一般介质，r 或 n 是频率(波长)的函数，其取决于介质结构。
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 5. 光电磁场的能流密度
~ * i0 ikr E Ee e
1.1.2 几种特殊形式的光波
说明：
① 凡是描述真实物理量的参量都必须是实数。采用 复数形式来描述，只是为了数学运算上的方便。 ② 对复数形式的量进行运算，只有取实部后才有物 理意义，并且才能得到与三角函数运算相同的结果。
③ 由于对 ei(t kz)和 e i(t kz) 取实部可得到相同结 果，因此对于平面简谐光波而言，采用ei(t kz) 和 ei(t kz) 两种形式完全等效。
1 f v t
单色柱面光波
A1 i(ωt kr ) E e (1.1-19) r
1.1.2 几种特殊形式的光波
4. 高斯光束
概念： 研究表明，从稳定球面腔和共焦腔中所发出的激光束是 高斯激光束。这种高斯激光束最显著的特征就在于，它的外 轮廓是圆形双曲面（即旋转双曲面）或者椭圆形双曲面。 特点： ·等相面曲率半径在正无限大和负无限大之间连续变化；
~ ikz 复振幅 E E0 e ~ i(kz ) 0 考虑到初相位 E E0 e
1.1.2 几种特殊形式的光波
若单色平面光波沿任一波矢 k 方向传播，则
三角函数表示 E E0 cos(t k r 0 ) (1.1-28)
复数表示
1 1 ( )( )f 0 z v t z v t
1.1.2 几种特殊形式的光波
令
p z vt q z vt
1 1 ( ) p 2 z v t 1 1 ( ) q 2 z v t
可以证明
因此 求解得
(1.1-5)
(1.1-6)
(1.1-7)
各向异性介质
BH J E
说明：物质的不同决定了物质特性的不同
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 4. 波动方程
无源空间
J 0, = 0
(1.1-8) (1.1-9) (1.1-10) (1.1-11)
D 0 B 0
D B 0 B E t
(1.1-1) (1.1-2) (1.1-3) (1.1-4)
D H J t
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 3. 物质方程
各向同性介质
D E 0 r E B H 0r H J E D E