2D 傅里叶变换理解心得一、 目的完整推倒2D 傅里叶变换公式，加深对2D 傅里叶变换公式的理解。

二、 内容2维傅里叶变换，针对的信号函数是2维空间平面内的函数，2维傅里叶变换也有四种不同的形式。

1、 连续周期时域信号<---->非周期离散频谱。

2D_CFS(,)XY f x y 表示2维周期连续信号，可以理解为一幅连续的图像信号（这里(,)XY f x y 可以为复数信号，但工程实践中常为实信号），(,)F k l 表示2维频谱信号，其中,k l 取-∞+∞上的整数。

00000000002()2()00002()2()00002()00(,).(,).(,).1(,).,,-+X YX Yj ku x lv y j ku x lv y XY XY X YX Yj ku x lv y j ku x lv y X Yj ku x lv y XY f x y e dxdyf x y e dxdyF k l e e dxdy dxdyf x y e dxdyk l XYπππππ-+-++-+-+===∞∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰取上的实整数其中X,Y 为(,)XY f x y 在x 坐标和y 坐标上各自的最小正周期。

00,u v 表示在x 坐标和y 坐标上各自的基频率，这里有0011,u v X Y==，,k l 取-∞+∞上的整数，对应不同的频率成分，(,)F k l 的图像为离散的，且在x 坐标和y 坐标上的频率间隔分别为0011,u v X Y==。

002()(,)(,).,,-+j ku x lv y XY k l f x y F k l e x y π+∞+∞+=-∞=-∞=∞∞∑∑取上的实数这里，(,)F k l 为复数。

所以得到2D_CFS （2维连续傅里叶级数）00002()002()(,).(,),,-+(,)(,).,,-+X Yj ku x lv y XY j ku x lv y XY k l f x y e dxdy F k l k l XYf x y F k l e x y ππ-++∞+∞+=-∞=-∞⎧⎪⎪⎪=∞∞⎨⎪⎪=∞∞⎪⎩⎰⎰∑∑取上的实整数取上的实数2、 连续非周期信号←-----→连续非周期频谱 2D_CTFT(,)f x y 表示非周期的连续2维信号，(,)F u v 表示其频谱，这里(,)F u v 是连续非周期的2维信号0000000000002()2()00,2()2(),0,,000*,,0*(,).(,).(,)limlim .(,)=(,).lim ,(,)=(,)X Yj ku x lv y j ux vy X YX Y j ku x lv y j ku x lv y u v X Y u v X Y u v f x y e dxdyf x y e dxdyF u v XYeedxdyF u v F u v XY F u v f x y ππππ+∞+∞-+-+-∞-∞→+∞+-+→→+∞→→+∞→==⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则2().,-+j ux vy e dxdyu v π+∞+∞-+-∞-∞∞∞⎰⎰取上的实整数这里，00,,01/lim X Y u v XY →+∞→为无穷小量，为了使频谱的取值能够便于研究，这里进行了放大，得到*(,)F u v ，所以这里就不是2D_CFS ，而是2D_CTFT(2维连续时间傅里叶变换)，这里仍然有0011,u v X Y==。

0000002()002()*,,0*,,0(,)(,).,0,(,)(,).(,)=lim .(,)(,)=(,)/lim j ku x lv y k l j ux vy u v X Y u v X Y u v f x y F k l e u v f x y F u v e F u v XY F u v F u v F u v XYππ+∞+∞+=-∞=-∞+∞+∞+=-∞=-∞→+∞→→+∞→=→∴=∴∑∑∑∑0002()*2(),,000,,0*2()*2()(,)(,).(,).lim 11,,1lim (,)(,).(,).j ux vy u v j ux vy u v X Y u v X Y u v j ux vy j ux vy u v v f x y F u v e F u v e XYu v X Y dudv XY f x y F u v e dudv F u v e ππππ+∞+∞+=-∞=-∞+∞+∞+=-∞=-∞→+∞→→+∞→++∞+∞++=-∞=-∞=-∞∴====∴=∴==∑∑∑∑∑∑u dudv+∞∞=-∞⎰⎰所以2D_CTFT 为*2()*2()(,)=(,).,-+(,)(,).-+j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy u v f x y F u v e dudv ππ+∞+∞-+-∞-∞+∞+∞+-∞-∞⎧∞∞⎪⎪⎨⎪=∞∞⎪⎩⎰⎰⎰⎰取上的实数x,y 取上的实数这里，u,v 为x,y 方向上的空间频率变量。

3、 离散周期信号←-----→离散周期频谱 2D_DFS对连续信号(,)XY f x y 按照x 方向x T 的采样周期（单位不一定为时间），y 方向（单位不一定为时间）y T 的采样周期进行采样，得到(,)MN f m n 。

这里，x y X M T Y N T =⎧⎪⎨=⎪⎩，x y x m T y n T =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以(,)(,)XY XY x y f x y f mT nT =。

通常，我们会去掉离散信号的周期单位（时间或者距离），只取出点列，不要物理意义。

所以我们会得到离散周期信号[,](,)MN XY x y f m n f mT nT =，这就是一个单纯的2维点阵，没有物理意义，是数学抽象出来的点阵。

00002()002()(,).(,),,-+(,)(,).,,-+X Yj ku x lv y XY j ku x lv y XY k l f x y e dxdy F k l k l XYf x y F k l e x y ππ-++∞+∞+=-∞=-∞⎧⎪⎪⎪=∞∞⎨⎪⎪=∞∞⎪⎩⎰⎰∑∑取上的实整数取上的实数 2D_CFS 利用2D_CFS 推倒2D_DFS00000000y 2()2()00002()2()00112()y y002(,).(,).(,),,,.(,).[,]yx x x yX Y X Yj ku x lv y j ku x lv y XY XY X Yj ku x lv y j ku x lv y NT MT j kmT l nT MT NT XY x x f x y edxdyf x y e dxdyF k l k l x y XYe e dxdyf mT nT edmT dnT F k l eπππππ-+-++-+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为整数为实数yy 1111()2()y112()y y0011112()2()y112()y .(,)..(,).=y x x x x yx yyx yx NT MT j k mT l nT j kmT l nT MT NT MT NT x NT MT j km l n M NXY x x NT MT j km l n j km l n M NM Nx j km l n M NXY x x edmT dnT f mT nT edmT dnT eedmT dnT f mT nT e mT nT ππππππ+-+-+-+-+-+=∆∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y y y y y y=0=011112()2()y=0=0y 112()y=0=0,.11[,](,)[,].=1y x x x y x x x y x x x NT nT MT mT mT nT NT nT MT mT j km l n j km l n M NM Nx mT nT MN XY x NT T MT T j km l n M NMN x mT nT m n eemT nT m n f m n f mT nT f m n eT T T πππ-∆-∆-∆-∆-+-+---+∆∆∆=∆==∴∑∑∑∑∑∑这里为非负整数，。

令上式y y y y y y y y y y y=0=0112()y=0=0y=0=0y =0=011=0=0=0=0[,].=1[,].=y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x NT T MT T x mT nT NT T MT T j km l n M NMN x mT nT NT T MT T x mT nT NT T MT T x mT nT NT T MT T M N mT nT m n MNT f m n eT T T T T T fm n π-----+--------∴∴∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑中，为常数，等价于上式1111112()2()y=0=0=0=011y=0=0[,].=1km lnM N M N j km l n j M NM Nx MNm n m n M N x m n eT T fm n e MNT Tππ-----+-+--∑∑∑∑∑∑所以通过上面的推倒，我们可以看出2D_CFS 推出了2D_DFS ，说明其本质是一致的。

图中，蓝色连续曲线采样后的图形，既可以理解为只在采样点处有定义，其他点没有定义的点列，也可以理解为有着周期性质的矩形红色图像（这里仅是示意图，红色图形骤变点函数值应该和蓝色图形该店函数值严格相等。

）。

而矩形红色图像是2D_CFS 和2D_DFS 的桥梁，它的频率成分既可以当做点列用2D_DFS 计算，又可以当做连续函数用2D_CFS 计算，结果是一致的。

在推倒过程中，我们发现，积分⎰和逐项求和∑本质上是一致的，都是以一定的步长在求曲线和横坐标所夹图像的面积，只是因步长的不同而导致精度不同而已，而2D_DFS 中的公式分子11112()y =0=0[,].M N j km l n M NMNx m n fm n eT T π---+∑∑，112()=0=0[,].km lnM N j M NMN m n f m n eπ---+∑∑就是在求红色矩形图像在一个周期中的面积，只不过横坐标选取不同，但最后分子分母一相消，就导致结果一致。

所以有时候通过红色矩形图像来理解采样，和傅里叶变换公式，有着事半功倍的效果。

很自然，反变换就是把个频率成分加起来就行了： ln 112()00[,][,].,,km M N j M NMN k l f m n F k l em n π--+===∑∑取整数但这里为了对称令正反变换形式一致，添加了系数，这里不再赘述。