第21讲 参数估计习题课教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。

教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。

教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。

教学时数：2学时。

教学过程：一、知识要点回顾1. 矩估计用各阶样本原点矩n ki i 11x n k V ==∑ 作为各阶总体原点矩k EX 的估计,1,2,k =L 。

若有参数2g(,(),,)k EX E X E X θ=L （）（），则参数θ的矩估计为 n n n 2i=1i=1i=1111ˆ(,,,)ki i i X X X n n n θ=∑∑∑L 。

2. 最大似然估计似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，取对数ln[()]L θ，从ln()d d θθ=0中解得θ的最大似然估计θˆ。

3. 无偏性,有效性当θθ=ˆE 时，称θˆ为θ的无偏估计。

当21ˆD ˆD θθ<时，称估计量1ˆθ比2ˆθ有效。

二 、典型例题解析1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。

解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则000111()0()u uu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。

2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。

解 由均匀分布的数学期望和方差知1()()2E X a b =+ （1）21()()12D X b a =- （2）由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，整理得2)(31a EX DX -=，解得()()a E X b E X ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为ˆˆa x b x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ。

3．设总体X 的密度函数为(;)!x e f x x θθθ-=，求θ的最大似然估计。

解 设)!)...(!)(!(),()(2111n n x ni i x x x e x f L ni iθθθθ-=∑===∏，则11ln ()()ln ln(!)n ni i i i L x n x θθθ===--∑∑11ln ()11ˆ0, n ni i i i d L x n x x d n θθθθ===-===∑∑4．设总体X 的密度函数1(,)()(aa x f x a x e a θθθ--=已知），求参数θ的最大似然估计。

解 11121()(,)(...)nai i nx nna i n i L f x a x x x eθθθθ=--=∑==∏11ln ()ln ln (1)ln nna i i i i L n n a a x x θθθ===++--∑∑1ln ()0n ai i d L n x d θθθ==-=∑ 解得 ∑==n i ai x n 11θ。

5. 设1ˆθ和2ˆθ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定21ˆ2ˆθθD D =，求常数c 和d ，使21ˆˆˆθθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θˆD 最小。

解 由于θθθθθθ)(ˆˆ)ˆˆ(ˆ2121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=ˆE ，故得c+d=1。

又由于2222222221221ˆ)2(ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ(ˆθθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最小，即使222d c f +=，满足条件c+d=1的最小值。

令d=1-c ，代入得22)1(2c c f -+=，'42(1)0, 620c f c c c =--=-=解得321,31=-==c d c 。

7. 设某电子元件的寿命服从正态分布),(2σμN ，抽样检查10个元件，得样本均值)(1200h x =，样本标准差)(14h s =。

求(1) 总体均值μ置信水平为%99的置信区间；(2) 用x 作为μ的估计值，求绝对误差值不大于10（h ）的概率。

解 (1)由于σ未知，s=14（h ）,根据求置信区间的公式得 ))1(),1((22-+--n t n sx n t n s x αα ))9(10141200),9(10141200(005.0005.0t t +-查表得25.3)9(005.0=t ，故总体均值μ置信水平为%99的置信区间为(120014.388, 120014.388)(1185.612, 1214.388)-+=(2))141010)1(()10()10(<-=<-=<-n t P ns n x P x P μμ=-=<≈<=α21))9()9(()2588.2)9((025.0t t P t P 1-0.05=0.958. 设n X X X ,...,,21为正态总体),(2σμN 的一个样本，确定常数c 的值，使2111)(∑-=+-=n i i i x x c Q 为2σ的无偏估计。

解])()()(2)([])())((2)[()]()[()(21112121112121112111μμμμμμμμμμ-+----=-+----=---=-=∑∑∑∑-=++-=++-=+-=+i n i i i i i n i i i i n i i i n i i i x E x E x E x E c x x x x E c x x E c x x c EQ由于0)(=-=-=-μμμμi i Ex x E ，所以有2112111)1(2)2(]0[σσ-==+-=∑∑-=-=+n c c Dx Dx c EQ n i n i i i由2σ=EQ （无偏性），故有1)1(2=-n c ，所以)1(21-=n c 。

二、计算题1.某工厂生产滚珠.从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:mm)如下:14.6 14.7 15.1 14.915.0 14.8 15.1 15.2 14.8用矩估计法估计该日生产的滚珠的平均直径和均方差.解.设滚珠的直径为X, 平均直径为μ,均方差为σ. 由矩估计法可知,而,∴.,而=0.03654,∴.2.设总体X的密度函数为,其中(θ＞0), 求θ的极大似然估计量.解. 设(X1, X2,…, X n)是来自X的一样本.由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:,上式两边取对数,似然方程为,解似然方程得θ的极大似然估计量是.3.设总体X的密度函数为,求α的极大似然估计量和矩估计量.解.设(X1, X2,…, X n)是来自X 的样本.(1)由矩估计法,∴.即参数α的矩估计量是.(2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为,上式两边取对数,似然方程为,解似然方程得到参数α的极大似然估计量是.1．设,0()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。

解 ,0dx xe EX x ⎰+∞-=θθ设du dx u x x u θθθ1,1,===则00111()0()uuu EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰=θ1故1EXθ=，所以x 1ˆ=θ。

3. 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。

假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P 的二项分布。

P 是该地区一块石子是石灰石的概率。

求p 的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下解：λ的极大似然估计值为λˆ=X =0.4994. 设X 1，X 1，…，X n 为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ其中θ>0，θ为未知参数。

解（1）似然函数 1211)()()(+-===∏θn θn n ni i x x x c θx f θL Λ0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni i θn nni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(Λ∑∑====+⋅-=ni ini i x nθx θθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。

(解唯一)故为极大似然估计量。

6. 设样本12,,n X X X L 来自总体~(,0.25)X N u ，如果要以99.7%的概率保证0.1X u -<，试问样本容量n 应取多大？解：~(0,1)N 。

现要求n,使{0.1}210.997P X u P φ-<=<=-≥即0.9985φ≥，查表得， 2.96≥，所以n=219，即样本容量为219。

8. 设总体X 具有分布律其中θ(0<θ<1)为未知参数。

已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值θθθθθθθθθX E 23)]1()][1(3[)1(3)1(221)(22-=-+-+=-+-⋅+⨯=X θX E =-=23)(令则得到θ的矩估计值为6523121323ˆ=++-=-=X θ（2）求θ的最大似然估计值 似然函数}1{}2{}1{}{)(32131======∏=X P X P X P x XP θL i i i)1(2)1(2522θθθθθθ-=⋅-⋅=ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导0115)(ln =--=θθθθd L d得到唯一解为65ˆ=θ。