复数知识点及题型归纳总结知识点讲解一、基本概念（1）i 叫虚数单位，满足21i =- ，当k Z ∈时，44142431,,1,k k k k i i i i i i +++===-=-.（2）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，记作a bi C +∈.①复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面上的点(,)Z a b 一一对应，a 叫z 的实部，b 叫z 的虚部； 0,b z R =⇔∈Z 点组成实轴；0,b z ≠叫虚数；0b ≠且0a =，z 叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.②两个复数,(,,,)a bi c di a b c d R ++∈相等a c b d =⎧⇔⎨=⎩（两复数对应同一点） ③复数的模：复数(,)a bi a b R +∈的模，也就是向量OZ 的模，即有向线段OZ 的长度，其计算公式为||||z a bi =+=，显然，22||||z a bi z z a b =-=⋅=+.二、基本性质1.复数运算（1）()()()()i a bi c di a c b d +±+=±+±（2）()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++ 22222()()z z ||||)2a bi a bi a b z z z z z a⎧+⋅-=⋅=+=⎪=⎨⎪+=⎩(注意其中||z =z 的模；z a bi =-是z a bi =+的共轭复数(,)a b R ∈.（3）2222()()()()(0)()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c d c di c di c di c d++⋅-++-==+≠++⋅-+. 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.2.复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面内的点(,)z a b ；（2）复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面向量OZ ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.（4）复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离.题型归纳与思路提示题型1 复数概念及其代数运算思路提示无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.例15.1下面关于复数21z i=-+的四个命题： 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-其中的真命题为（ ）A .23,p pB . 12,p pC .,p p 24D .,p p 34解析 因为 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，所以z =22(1)2z i i =--=，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-，z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1.其中的真命题为,p p 24,故选C .变式1设,,a b R i ∈是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的（ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件变式2 sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ=（ ）A .2()4k k Z ππ-∈ B .2()4k k Z ππ+∈ C .2()4k k Z ππ±∈ D .()24k k Z ππ+∈ 变式3 复数1,z i z =+为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ）.A 2i - .B i - .C i .D 2i例15.2复数z 满足()()25z i i --=，则z 为.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D . 变式1 已知复数1z i =-，则221z z z -=-（ ） .A 2i .B 2i - .C 2 .D 2-变式2 复数212i i-=+（ ）.A i .B i - .C 4355i -- .D 4355i -+ 例15.3设a b ∈R ，，117i i 12i a b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ． 解析 据题i i i i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a 从而 8=+b a .故填8.变式1若()()12i i ++=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += .变式2 若,,a b R i ∈是虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ） .A 1,1a b == .B 1,1a b =-= .C 1,1a b =-=- .D 1,1a b ==-例15.4方程26130x x ++=的一个根是A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +解析 解法一：设x a bi =+，则2()6()130a bi a bi ++++=，整理，得：22(613)(26)0a b a ab b i -++++=， 所以有226130260a b a ab b ⎧-++=⎨+=⎩，解得3=2a b =-⎧⎨±⎩，即-32x i =±解法二：用求根公式求解：32x i ==-±，故选A . 变式1 若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b题型2 复数的几何意义思路提示复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.例15.5若复数z 满足||z i i -≤为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为______________.解析 设,,,z x yi x y R =+∈则有|x (y 1)|i +-≤即22(1)2x y +-≤，所以z 在复平面内所对应的图形为以(0,1)2π，故填2π.变式1 已知35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限变式2 02,,||a z a i z <<=+的取值范围为（ ）A ．B ．C ．(1,3)D ．(1,5)变式3 已知z C ∈，且|22|1z i --=，则|22|z i +-的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5例15.6若C ω∈，且11ωω-+的实部为0，求复数11ω+在复平面内对应点的轨迹. 解析 令221(,,x 0)1x yi x y R y ω=+∈+≠+，则111,12,x yi x yi ωω+=-=-++ 所以11()(2)2212121x yi x yi x yi x yiωω-=+-=+-=-+++其实部为0，所以210()x y R -=∈，这就是所求轨迹的方程，它是一条平行于虚轴的直线. 变式1 设z 是复数，1,12z R z ωω=+∈-<<. （1） 求||z 及z 的实部的取值范围；（2） 若11z u z-=+，分析u 是否为纯虚数，并说明理由； （3） 求2u ω-的最小值有效训练题1.复数21)2i i-=（（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -2.若复数z 满足(2)117(z i i i -=+为虚数单位)，则z =（ ）A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --3.设,,0a b R a ∈=“”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4. 复数z 满足2+2=0z ，则3z =（ ）A ．±B ．-C ．-D ．5.复数z 满足(2)i z i -=，则复数z 在复平面上对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.已知复数z 22i i-=+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．3455i - B ．3455i + C ．415i - D ．415i + 7.设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a 的值为____________. 8.1(,)1i a bi a b R i+=+∈-,则a b +=____________. 9. 已知复数z 2(1i i i=-为虚数单位)，则||z =____________. 10.设,||1z C z ∈=，且z i ≠±，求21z z +对应点的轨迹方程是____________.。