例：试证明下列结论是否有效：
(1) A1：Ｐ A2：Ｐ→Ｑ C：Ｑ
C：Ｑ C：Ｐ C:(Ｐ∧Ｑ) C：Ｐ (2) A1：Ｐ→Ｑ A2： Ｐ (3) A1：Ｐ→Ｑ A2： (Ｐ∧Ｑ) (4) A1 ：Ｐ A2：ＰＱ (5) A1 ：Ｐ→Ｑ A2：Ｑ
§1.8 推理理论
P
F F T T
Q
F T F T
§1.8 推理理论
例：证明 ¬ P ¬ Q ¬ (PQ) 证: (1) ¬ (¬ (PQ)) (2) PQ 假设前提 T(1) E1
(3) P (4) ¬ P ¬ Q (5) ¬ P (6) P ¬ P
(7) F
T(2) I1 P T(4) I1 T(3)(5)
§1.8 推理理论
推理：也称论证，由已知的命题得到新命题的思维过程 前提：推理所根据的已知命题 结论：从前提出发应用推理规则推出的新命题 在逻辑学中把从所谓前提的一些命题出发,依据公认的推 理规则,推导出所谓结论的一个命题的过程称为有效推理或 形式证明, 所得结论叫做有效结论。
§1.8 推理理论
[定义1-8.1]给定两个命题公式Ａ和C，当且仅当Ａ→ Ｂ是一个永真式，即 A C ，称 C 是前提Ａ的有效 结论。或C可由Ａ逻辑地推导出来。 [推广]设H1，H2,…Hm,Ｃ都是命题公式，当且仅当H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm Ｃ，才可以说Ｃ是前提集合 ｛ H1，H2,…Hm ｝的有效结论。
（１）检查真值表中H1，H2,…Hm全部为“Ｔ”的所 有行，看结论Ｃ是否也均为 “Ｔ”，若Ｃ 均 为 “Ｔ”，则结论有效。否则结论无效。
（２）看结论Ｃ为“Ｆ”的所有行，检查每行前提 H1，H2,…Hm中是否至少有一个为Ｆ，若有“Ｆ”， 则结论有效；若有均为“Ｔ”的行，则结论无效。
§1.8 推理理论
§1.8 推理理论
[定理]设{H1,H2…Hm}是相容的，同时设C是一 个命题公式，如果前提集合{H1,H2…Hm,¬ C} 是不相容的，则一定有H1,H2…HmC成立。 证明：由条件H1H2 … Hm ¬ C F ∴ H 1 H 2 … H m ¬ C必定为永假式。而 H1H2 … Hm是一致的，即为永真式，从 而只有¬ C为永假式，则C 一定为永真式， 故H1H2 … HmC成立。
规则 P P T(1)(2) P T(3)(4)
根据
I11
I11
例1：证明：PQ,Q R,PR 也可以这样推理：
步骤 推理过程 (1) P Q 规则 P 根据
(2)
(3) (4) (5)
Q R
PR P R
P
T(1)(2) P T(3)(4) I11 I13
例2 证明：
(P∨Q) ∧(P R) ∧(Q S)S∨R 证明： (1) (P∨Q) (2) P Q P T(1) E16
§1.8 推理理论
例2: PQ P(P ∧Q) (1) P 附加前提 (2) PQ P (3) Q T(1)(2) I11 (4) P ∧Q T(1)(3) (5) P(P ∧Q) CP
§1.8 推理理论
3．间接证明…Hm，
H1H2 … Hm具有真值为“T”，则命 题公式集合{H1,H2…Hm}称为是相容的。否则 称{H1,H2…Hm}是不相容的。
（５）Ｐ→Ｑ，ＱＰ 无效
例：H1：如果大连是一个大城市，则大寨是 一个乡村； Ｐ→Ｑ H2：大寨是一个乡村； Ｑ Ｃ：大连是一个大城市； Ｐ 则：Ｐ→Ｑ，ＱＰ 或者称：Ｐ不能从前提集合中推导出来。
§1.8 推理理论
2、直接证法
由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据 已知的等价或蕴含公式，推演得到有效的结论。 ∴在推理规则中不需要有真值表，也不需要对 命题进行真值指派。 常用的永真蕴含式和等价公式（见P43）
§1.8 推理理论
本节介绍的证明方法，分成三类：
（一）真值表法；
（二）直接证法；
（三）间接证法。
§1.8 推理理论
1、真值表法 真值表法的主要依据是“→”的真值表定义。 若ＰＱ当且仅当（Ｐ→Ｑ）为永真式。
P
F F T
Q
F T F
Ｐ→ Ｑ
T T F
T
T
T
§1.8 推理理论
1、真值表法
从给定真值表常用的判断方法有二种：
§1.8 推理理论
下面介绍两个规则： P规则：在推导的任何步骤上都可以引入前提（条件） T规则：在推导过程中，如果前面有一个或多个公式永真蕴 含S，则可以把S引入推导过程之中。
例1：证明：PQ,Q R,PR
推理过程： 步骤 推理过程 (1) PQ (2) P (3) Q (4) Q R (5) R
§1.8 推理理论
例1：试用CP规则证明 P(Q S), ¬ R∨P,Q RS 证: (1) R 附加前提 (2) ¬ R∨P P (3) RP T(2) E16 (4) P T(1)(3) I11 (5) P(Q S) P (6) Q S T(4)(5) I11 (7) Q P (8) S T(6)(7) I11 (9) RS CP
(3) Q S
(4) P S (5) S P
P
T(2)(3) I13 T(4) E18
(6) P R
(7) S R (8) S∨R
P
T(5) (6) I13 T(7)E16
§1.8 推理理论
CP规则： 证明 A1 ∧A2…… ∧AmB C 由等值演算得 A1 ∧A2 …… ∧Am B C （A1 ∧A2 …… ∧Am ∧B ）C 并能从A1 ∧A2 …… ∧Am ∧B 中推出C，则就 能从前提集合中推导出B C，称B为附加前 提。这种证明方法称为附加前提证明法，简称 CP规则。
Ｐ→Ｑ
T T F T
Ｐ
T T F F
Q
T F T F
（Ｐ∧Ｑ）
T T T F
ＰＱ
T F F T
由真值表可见： （１）Ｐ，Ｐ→ＱＱ （２）Ｐ→Ｑ，ＰＱ （３）Ｐ→Ｑ， （Ｐ∧Ｑ） Ｐ （４） Ｐ，ＰＱ （Ｐ∧Ｑ） （５）Ｐ→Ｑ，ＱＰ
有效 无效 有效 有效 无效
§1.8 推理理论