第六章 散射1．粒子受到势能为2)(ra r U =的场的散射，求S 分波的微分散射截面。

[解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。

注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。

因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。

矢径的波动方程是：0))1()((12222=+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛l l R r l l r V k dr dR r dr d r其中l R 是波函数的径向部分，而Ekr U r V 2222),(2)(μμ==令rr x R l l )(=，不难把矢径波动方程化为02)1(2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+''l l x r r l l k x μα再作变换 )(r f r x l =，得0)(221)(1)(2222=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'+''r f re k rf rr f μα这是一个贝塞尔方程，它的解是)()()(kr BN kr AJ r f p p +=其中222221 μα+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l p 注意到)(kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数∞→=rN R p l ，不符合波函数的标准条件。

所以必须有0=B故)(1kr J r AR p l =现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求得相角位移l δ，由于：)2sin(1)42sin(1)(l l kr rp kr rr R δπππ+-=+-→∞→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=∴21221224222l d l l p l μππππδ当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-=2122l l μαπδ又因 l i i elδδ212=-故∑∞=-+=2)(c o s )1)(12(21)(l l i P el ikf lθθδ∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=02)(cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπ∑∞=-=02)(cos l lP k θπμα注意到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑∑∞=∞=02121202112121222112)(cos 1)(cos 1cos 211l l l l l lr r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθ如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有∑∞===-02sin21)(cos )cos 1(21l lP θθθ故2s i n21)(2θπμαθk f -=微分散射截面为θθαμπθθαμπθθd Ed k d f 2csc82sin41)(2222242222==由此可见，粒子能量E 愈小，则θ较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数α愈大，微分散射截面也愈大。

2．慢速粒子受到势能为⎩⎨⎧><=a r a r U r U 当当,0,)(0的场的散射，若0,00><U U E ，求散射截面。

[解] 慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S 分波。

在a r >处，方程为 2210l l l(l )x k x r +⎡⎤''+-=⎢⎥⎣⎦其中222E kμ=在a r <处，则有 2210l l l(l )x k x r +⎡⎤'''-+=⎢⎥⎣⎦其中202)(2 E U k -='μ而波函数是r x R l l =在a >>λ的情况下，只故虑S 分波，即0=l 的情况，上面两个方程变为002=+''>x k x a r 0020=-''<x k x ar其解分别为当a r >时， )sin(00δ+=kr B x当a r <时， 0x Ashk r A c hk r '''=+由于在0→r 时，r x R 00=有限，但1cos 0−−→−'→r r k 当故 0='A即 )(0a r r k A s hx <'=在a r =处，波函数0R 及其微商必须连续，因此得出)sin(0δ+='ka B a k Ash )sin()cot(0202δδ+-+='-''ka aB ka k aB a k sh aA a k ch k aA用前式除后式可得)cot(coth 0δ+=''ka k a k k 即)(0δ+'='ka tg kk a k tgka a k tg k ktg -⎪⎭⎫⎝⎛''=∴- 10δ因此S 分波的辐射截面是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-ka a k tg k ktg kkQ 1220220sin 4sin 4πδπ当速度较小时，0→k ，可以近似地认为2002U k k μ=='这时有 0t g h k a t g h k a= 000k tghk a kak δ∴=-2002220144⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a k a k tg a kQ πδπ假如∞→0U ，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于121)(100022020200−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→k a k a k tg a k a k tg a k a k tg 当204Q a π∴=3．只考虑S 分波，求慢速粒子受到势能4)(rr U α=的场散射时的散射截面。

[解] 当只考虑0=l ，即S 分波时，令r R α=，则x 满足的方程是：242=-''rx xμα为了解此方程，作如下代换，令)()(r f r r x =，由于)(121)(r f r r f r x +'=' 23)(41)()(-⋅-'+''=''rr f r r f r f r x可将原方程化为0411223272=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-'+''r r d f r f f r μ即04112242=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+''r r d f r f f μ为了化简方程，再作变换，令ξμα12i r =注意到22212ξμαξμαξξξd df irid df drd d df drdf =-==drd d df i d fd i dr d d df i d d drf d ξξμαξξμαξξμαξξ222222222+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μαξξξμαξi d df i d f d方程可以化为04111222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++ξξξξd dfd f d这是21阶的贝塞尔方程，它的解是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r i Hr f 12)()1(21 μα式中)1(H 表示第一类汉克尔函数，按定义为 [])()(sin )()1(ξξπξπp p ip p J J ep i H ---=当1<<ξ时，)1(2)(+=p J ppP Γξξ当0,→∞→ξr 时⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−--∞→2122322sin )(21212121)1(21ΓξΓξπξi i H r 当 而πΓΓπΓ21212123,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∴r x iH r r f r x μ2)()1(21当r 很大时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41241222 μαμαr x 常数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛==r c C r r r x R 21412412212)(常数常数 μαμα另一方面rkr rkr C krkr C R )sin()0cos()0sin(021δ-=-+-=常数当1<<kr 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+≅r C C R 21常数 其中 412241212,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μαμαC C 01202δμαδ===∴k k C C tg散射截面222208424k k Q πμαπμαπδ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==上述解的条件是,1<<kr 即112<<=r iμαξ亦即要求 k r 12<<<<μα4．用玻恩近似法求粒子在势能220)(reU r U α-=场中散射时的散射截面。

[解] 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式2)()(θθf q =而⎰∞--=0222sin 2)(drkrer K f rαμθ[见教材（55-23）式]其中2s i n4222θk K=，θ为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。

在本题中220)(reU r U α-=⎰∞--=∴2022sin 2)(drKrer K U f rαμθ⎰∞--+--=02)(2222dreer K U iiKrr iKrr ααμ⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242024202222222222drreeK U i dr reeK U i iK r K iK r K ααααααμμ注意到⎰⎰⎰∞∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222222222222222dreiK dr e iK r dr reiK r iK r iK r αααααααα⎰∞-+=+=3224212222απααπααiK iK dx xe x又⎰⎰⎰∞∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-002222222222222222dr eiK dr e iK r dr reiK r iK r iK r αααααααα32421απαiK +-=22224320342022)(αααπμαπμθK K eU iK e K U i f ---=⋅=∴而2s i n4222θK K =2226420224)()(ααπμθθK eUf q -==∴5．利用玻恩近似法求粒子在势能20s Ze r,r a U (r )r b,r a ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩场中散射的微分散射截面，式中22s ab Ze =[解] 由势能)(r U 的形状容易看出，计算)(θf 时只需计算由a →0的积分即可。