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例5 证明数列xn (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义, 对于 1 , 2
则N , 即当n
使得当n N时, N时, xn (a
有 1, 2
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
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正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
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2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn 2.数列是整标函数 xn f (n).
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三、数列的极限
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
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问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
1 2
1 22
1 2n
;
Xn
1
1 2n
1
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二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1
n (1)n1 1 n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
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例2
证 0, 由 2n 2 6n 2(1 3n)
1 3n 3 3(1 3n)
2 9 1 n 1,
3 9n 9n n
N [ 1 ] , 当n N时，有 2n - 2 .
1 3n 3
2n 2
lim
.
n 1 3n 3
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四、数列极限的性质
1.唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
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定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切xn ,
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
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例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
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确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn
1
(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
1 xn 1 100 ,
放大的原则： 1、使放大后的式子 n 较为简单,且 n 0 (n ) ，再解不等式 n ，从而确定所要找的 N .
2、在放大过程中，为使式子简单，有时要限定n 必须大于某个正数， 并在最后确定N 的值时，考虑到这个前提条件.
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例4 证明 lim 2n 2 . n 1 3n 3
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , nln q ln ,
n ln , ln q
取N [ ln ], ln q
则当n N时,
就有qn 0 , limqn 0. n
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注: 有时直接解不等式xn a ，要得到n 关于的式子 很不方便，因此通常将xn a 适当数列
xn的极限,或者称数列xn 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2.N与任意给定的正数有关.
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N定义 :
lim
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
{2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1 {2n }
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1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
{
}
23
n
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注：该定义并未提供如何求数列极限，但可以去验证数列的极限！ 思考：如何根据极限定义验证数列极限？
用定义验证数列极限,关键是如何由任意给定的ε>0 ，寻找N！
具体方法： 对任意给定的 0 ,从结论“ xn a ”出发解不等式， 得n 关于 的式子，则 N [关于 的式子] .
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证
设
lim
n
xn
a,又 lim n
xn
b,
由定义,
0, N1 , N2 .使得 当n
N
时恒有
1
xn
a
;
当n
N
时恒有
2
xn
b
;
取N
maxN1 ,
N 2 ,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.