几何的定值与最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或
几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本
方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，
先探求出定值，再给出证明．
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量
(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基
本方法有：
1．特殊位置与极端位置法；
2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这
是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数
形结合、特殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．
【例题就解】
【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以
AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．
思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，
DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2
1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，
本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．
注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特
殊位置与极端位置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度
数（ ）
⌒
A ．从30°到60°变动
B ．从60°到90°变动
C ．保持30°不变
D ．保持60°不变
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，
其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，
动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变
化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，
研究的量取得定值与最值．
【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上
的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．
思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运
用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．
【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘
积与M 点的选择无关．
思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC
的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为
△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，
从而我们的证明目标更加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证
明问题．
【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的
三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可
能值．
思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，
取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)
上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大
⌒
值．
注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函
数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)构造二次函数求几何最值．
学力训练
1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C
点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′
+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．
2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均
不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．
3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的
距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．
4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN
上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )
A ．1
B ．2
2 C ．2 D ．13- 5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿
看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )
A ．212π+
B ．2412π+
C ．214π+
D ．242π+
6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、
RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长逐渐减小
C ．线段EF 的长不改变
D ．线段EF 的长不能确定
7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
(1)求证：MN∥AB；
(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．
(2002年云南省中考题)
8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．
9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；
(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．
10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )
25 D．14
A．8 B．12 C．
2
11．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( ) A．2
3+
3+ D．2
1+ C．2
2+ B．2
12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．
13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV 与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?
15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面
积的和为800平方米．
(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．
(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．
②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．
(镇江市中考题)
16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．
参考答案。