2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数 学（理科）沈阳命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈 沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧 沈阳主审：沈阳市教育研究院 王恩宾本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B =I （ ） （A ） [1,0]- （B ） ]2,1[ （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞U2. 设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+3. 已知a ρ=1,b ρ=2，且a ρ)(b a ρρ-⊥，则向量a ρ与向量b ρ的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ） 3π （D ）23π4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）3 （D ）25. 已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数 2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ） （A ）25 （B ）35 （C ）12 （D ）3106. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） （A ）323 （B ）64 （C ）3233（D ） 643 8. 已知直线22(1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅MB MA ，则实数=m （ ） （A ）2 （B ）22（C ）21 （D ）09. 对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数：① 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）（A ）2()f x x = （B ）()21xf x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+10. 在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则当xy 取得最大值时，点P 的坐标是（ ）（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)211. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数(0)y x x =≥的图象交于点P . 若函数y x =在点P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）（A ）512+（B ） 522+ （C ）312+ （D ）3212. 若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是（ ） （A ）14 （B ）1 （C ）2 （D ）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数13sin cos 22y x x =+([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________． 14. 612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 ．16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan()αβ+的值是 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60o，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F 分别为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证：直线AF //平面PEC ； (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班48977(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望.FEBDCAP20.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1)，且离心率为32.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n+=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=； （Ⅲ）从圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.21.（本小题满分12分）若定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-， 21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+，∈a R.（Ⅰ）求函数()f x 解析式；（Ⅱ）求函数()g x 单调区间；（Ⅲ）若x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为 圆O 的切线，B ，D 为切点. （Ⅰ）求证： OC AD //；（Ⅱ）若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）.（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求△ABM 面积的最大值.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集； （Ⅱ）若R ∈∀x ，27()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．2015年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；(5)B ；（6）C ；（7）D ；（8）B ； （9）D ；（10）D ；（11) A ；（12）D ． 二.填空题 （13）[0,]6π；（14）52-；(15) (,1][3,)-∞+∞U ；（16）433R a -.三.解答题（17）解：（Ⅰ）当2n ≥时，21221nn n n S S S S --=-， …………………2分112n n n n S S S S ---=.1112n n S S --=， 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1构成以1为首项，2为公差的等差数列. ………………………………6分 （Ⅱ）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，121n S n ∴=-. ………8分 当2n ≥时，11111111()(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n=<=⋅=-----. ……10分 从而123111111111313...1(1)2322231222n S S S S n n n n ++++<+-+-++-<-<-L . …12分（18）解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. …………2分 ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………6分 (Ⅱ)60DAB ∠=oQ ，DE DC ∴⊥. 如图所示，建立坐标系，则P (0,0,1),C (0,1,0),E (32,0,0), A (32，12-，0)，31(,,0)22B ， ∴31,,122AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,0AB =u u u r . …8分设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =r.∵0n AB ⋅=r u u u r ，0n AP ⋅=r u u u r ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++-02123y z y x ，取1x =，则32z =， ∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =r . …………………………10分 设向量n PC θr u u u r 与所成角为，∵(0,1,1)PC =-u u u r ，∴3422cos 14724n PCn PCθ-⋅===-⨯r u u u rr u u u r ， MFEBACDPFEBACDyzx P∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为4214. .…………………………12分 （19）解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7， ……………………1分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8）， …………3分 乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7）， …………5分 因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分 (Ⅱ)X 可能取0,1,2211(0)525P X ==⨯=，31211(1)52522P X ==⨯+⨯=，313(2)5210P X ==⨯=，所以X 分布列为：X0 1 2 P15 12 310 数学期望11311012521010EX =⨯+⨯+⨯=. …………………………………9分Y 可能取0,1,2313(0)5525P Y ==⨯=，342114(1)555525P Y ==⨯+⨯=，248(2)5525P Y ==⨯=，所以Y 分布列为：Y0 1 2 P325 1425 825数学期望314860122525255EY =⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 （20）解：(Ⅰ)1b =Q ，3=2c e a =， 2,1a b ∴==，∴椭圆C 方程为2214x y +=. ………………………………………2分（Ⅱ）法一：椭圆1C :22221x y m n +=，当0y >时，221x y n m=-，故22211nxy mx m '=-⋅-，∴当00y >时，200022220002111x nn n k x x y mm m y x n m =-⋅=-=-⋅-. ……………4分 切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，00221x x y ym n +=. …………………………6分 同理可证，00y <时，切线方程也为00221x x y ym n +=.当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=.综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=. ……………………7分解法2. 当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y mn y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，①由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=， ……………………4分 化简可得：2222t m k n =+，①式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t=-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m ky n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=. …………………………… 6分 当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=，综上：22221x y m n +=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y ym n+=.（其它解法可酌情给分） ………………………… 7分（Ⅲ）设点P (,)p p x y 为圆2216x y +=上一点，,PA PB 是椭圆2214x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的椭圆的切线为1114x xy y +=，过点B 的椭圆的切线为2214x xy y +=. Q 两切线都过P 点，12121,144p p p p x x x x y y y y ∴+=+=.∴切点弦AB 所在直线方程为14p p xx yy +=. …………………… 9分1(0)p M y ∴，，4(,0)pN x ，2222222161161=16p pp p p p x y MN x y x y ⎛⎫+∴=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭222222221125=171617216161616p pp pppp p x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪++⋅≥+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当222216p p ppx y y x =，即226416,55P P x y ==时取等，54MN ∴≥，MN ∴的最小值为54. ……………………………………12分（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）22'()'(1)22(0)x f x f e x f -=+-，所以'(1)'(1)22(0)f f f =+-，即(0)1f =．又2(1)(0)2f f e -'=⋅，所以2'(1)2f e =， 所以22()2xf x ex x =+-． ……………………………………4分（Ⅱ）22()2xf x ex x =-+Q ，222111()()(1)(1)(1)2444x x x g x f x a x a e x x x a x a e a x ∴=-+-+=+--+-+=--.……………5分()x g x e a '∴=-，①当0a ≤时，()0g x '>，函数 在R 上单调递增； .……………6分 ②当0a >时，由()0xg x e a '=-=得ln x a =， ∴(),ln x a ∈-∞时，()0g x '<， ()g x 单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．综上，当0a ≤时，函数()g x 的单调递增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，函数()g x 的单调递增区间为()ln ,a +∞，单调递减区间为(),ln a -∞． .……………8分 （Ⅲ）解：设1()ln ,()ln x ep x x q x e a x x-=-=+-， Q 21'()0e p x x x=--<，∴()p x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，又()0p e =， ∴当1x e ≤≤时，()0p x ≥，当x e >时，()0p x <.Q 11'()x q x e x -=-，121''()0x q x e x -=+>，∴'()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，又'(1)0q =，∴[1,)x ∈+∞时，'()0q x ≥，∴()q x 在[1,)x ∈+∞上为增函数，)(x g∴()(1)20q x q a ≥=+>.①当1x e ≤≤时，1|()||()|()()x e p x q x p x q x e a x--=-=--， 设1()x e m x e a x -=--，则12'()0x em x e x-=--<，∴()m x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴()(1)1m x m e a ≤=--，Q 2a ≥，∴()0m x <，∴|()||()|p x q x <，∴e x比1x e -+a 更接近ln x . ②当x e>时，11|()||()|()()2ln 2ln x x ep x q x p x q x x e a x e a x---=--=-+--<--，设1()2ln x n x x e a -=--，则12'()x n x e x -=-，122''()0x n x e x-=--<，∴'()n x 在x e >时为减函数，∴12'()'()0e n x n e e e -<=-<，∴()n x 在x e >时为减函数，∴1()()20e n x n e a e -<=--<， ∴|()||()|p x q x <，∴e x 比1x e -+a 更接近ln x . 综上：在2,1a x ≥≥时，e x比1x e -+a 更接近ln x . …………………………… 12分(22) 解： (1)连接CD CB OD BD ,,,Θ是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴，ο90=∠+∠∴DOC ODB ,又AB Θ为圆O 的直径，DB AD ⊥∴，ο90=∠+∠∴ODB ADO ODA OAD ∠=∠∴,DOC OAD ∠=∠∴,即得证，……5分(2)OD AO =∴,DOC DAO ∠=∠∴,Rt ∴△BAD ∽△COD ，8AD OC AB OD ⋅=⋅=. ………………………………………………………… 10分(23)解：（1）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x …………………………………………2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ …………………5分（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为 ………………………6分2|9sin 2cos 2|+-=θθd………………………7分△ABM 的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S………………………9分 所以△ABM 面积的最大值为229+ ………………………10分(24) 解：（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩， ………………………2分当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,233x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥综上所述 2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或 ． ………………………5分 （2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R ∈∀x ，t t x f 211)(2-≥恒成立， 则只需22min 73()32760222f x t t t t t =-≥-⇒-+≤⇒≤≤， 综上所述322t ≤≤．………………………10分。