试卷类型：B2012年广州二模 数 学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12|z ||z |=，则实数a 的值为 A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．±2或0 2．设集合A={(x ，y)|2x+y=6}，B={(x ，y)|3x+2y=4}，满足C ⊆(A B)的集合C的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ． 4 B ．14 C ．14- D ．-4 4．已知等差数列{n a }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥βB ．m l ⊥，αβ=l ，m α⊂C ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥D ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂ 6．下列说法正确的是A ．函数1f (x )x=在其定义域上是减函数B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“210x R,x x ∃∈++>”的否定是“210x R,x x ∀∈++<”D ．给定命题p 、q ，若p ∧q 是真命题，则⌝p 是假命题 7．阅读图l 的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．88．已知实数a ，b 满足22430a b a +-+=，函数1f (x )a sin x bcos x =++的最大值记为(a,b )ϕ，则(a,b )ϕ的最小值为A ．1B ．2C ．31+D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 . 10．(2x x-)6展开式中的常数项是 (用数字作答). 11．已知不等式2|x |->1的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等，则a b +的值为 。

12．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF mAB nAD(m,n R )=+∈，则mn 的值为 .13．已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，2|OP |=(点O 为坐标原点)，点M(-1，0)，则cos ∠OPM 的取值范围是 . (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别为(2，6π)，(2，76π)，则顶点C 的极坐标为 . 15．(几何证明选讲选做题)如图2，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC=2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则面ADBD的值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．(本小题满分12分)已知函数003f (x )Asin(x )(A ,)πωω=->>在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（512π，2），（1112π，-2）. (1)求A 和ω的值；(2)已知α∈(0，2π)，且45sin α=，求f ()α的值．17．(本小题满分12分)如图3，A ，B 两点之间有6条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ． (1)当ξ≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．18．(本小题满分l4分)某建筑物的上半部分是多面体MN —ABCD ，下半部分是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1(如图4)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成．(1)求直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值； (2)求二面角A —MN —C 的余弦值；(3)求该建筑物的体积．19．(本小题满分14分)已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：24x y =有一个相同的焦点F 1，直线l ：2y x m =+与抛物线C 2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．20．(本小题满分l4分)已知函数212f (x )ln x ax x,a R.=-+∈(1)求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )的极值大于0?若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．21．(本小题满分l4分)已知函数f (x )的定义域为(-1，1)，且112f ()=，对任意11x,y (,)∈-，都有1x yf (x )f (y )f ()xy--=-，数列{n a }满足1122121*n n n a a ,a (n N ).a +==∈+ (1)证明函数f (x )是奇函数；(2)求数列{n f (a )}的通项公式；（3）令12*n n a a ...a A (n N )n +++=∈，证明：当2n ≥时，2111-<-∑∑==n A a n i ni i i .参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．60.9； 10. -160； 11. -1； 12. -2； ]1,22[13⋅ )32,32(14π⋅ 2.15 说明：第l4题的答案可以是))(232,32(Z k k ∈+ππ三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分l2分)(本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两 角差的正弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解：∵函数)(x f 的图象的最高点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,125π .2=∴A ……………1分依题意，得函数)(x f 的周期πππ=⎪⎭⎫⎝⎛-=12512112T ……………2分 .22==∴Tπω ……………3分 (2)解：由(1)得⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2)(πx x f ……………4分 ,54sin ),20(=∈απα且，53sin 1cos 2=-=∴αα ……………5分,2524cos sin 22sin ==∴ααα ……………7分 257sin 212cos 2-=-=αα ……………9分 )32sin(2)(παα-=∴f ……………10分)3sin2cos 3cos2(sin 2παπα-= ……………11分⋅+=253724 ……………12 分 17．(本小题满分12分)(本小小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识，考查或然与必 然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(I)解：从6条网线中随机任取三条网线共有2036=C 种情况． ……………1分,6321411=++=++⋅=+==∴411)6(361212C C C P ξ ……………2分 ,7322421=++=++411)7(361212=+==∴C C C P ξ ……………3分 ,8422431=++=++2031)8(3612=+==∴C C P ξ ……………4分 ,9432=++⋅===∴101)9(3612C C P ξ …………5分)9()8()7()6()6(=+=+=+==≥∴ξξξξξP p P P P⋅=+++=431012034141答：线路信息畅通的概率为43……………6分 (2)解：ξ的取值为4，5，6，7，8，9． ……………7分,4211=++⋅===∴101)4(3612C C p ξ ……………8分,5221311=++=++⋅=+==∴2031)5(3612C C P ξ ……………9分 ∴ξ的的分布列为：……………10分1019203841741620351014⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE ……………11分 .5.6= ……………12分18．(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识，考查 数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解法l ：(1)作MO⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，则∠MAO 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． ……………l 分 由于平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1，故∠MAO 是直线AM 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． ……………2分 作MP⊥AB，垂足为P ，连接PO ，⊂AB 平面ABCD ，∴MO⊥AB．⊂=MO M MP MO , 平面⊂MP MOP ,平面MOP ，∴AB ⊥平面MOP ． ……………3分 由题意知.4,2,11=====AA AD AP PO MO在POM Rt ∆中，222=+=MO PO PM 在APM Rt ∆中，322=+=PM AP AM在AOM Rt ∆中，3331sin ===∠AM MO MAO ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……………5分 (2)延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ， 由(1)知AB⊥平面MOP ∴MQ ⊂平面MOP ， ∴AB⊥MQ． ∵MN∥AB，∴MN⊥MP,MN⊥MQ． …………6分∴∠PMQ 是二面角A 一MN —C 的平面角． ……………7分 在△PMQ 中，2.2===PQ MP MQ,4222PQ MQ MP ==+.90 =∠∴PMQ ……………8分∴二面角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)作NP 1∥MP 交AB 于点P 1，作NQ 1 ∥MQ 交CD 于点Q 1，由题意知多面体MN —ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥M —APQD 和1PBCQ N - 和一个直三棱柱11Q NP MPQ -.四棱锥APQD M -的体积为321213131=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MO AD AP V …………10分 直三棱柱11Q NP MPQ -的体积为222221212=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=MN MQ MP V …11分 ∴多面体ABCD MN -的体积为3102322221=+⨯=+=V V V ……………12分长方体1111D C B A ABCD -的体积为3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA BC AB V ………13分∴建筑物的体积为31063=+V V ……………14分 解法2：(1)以点D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，D D 1所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系xyz D -,(如图)，作MO⊥平面ABCD ，垂足为O ， 作OP⊥AB，垂足为P ，依题意知,1===AP OP MO ,4.21==AA AD 则,)1,1,1(),0,0,2(),0,0,0(M A D )4,0,2(),1,3,1(1-A N ……………1分⋅-=∴)1,1,1(AM ……………2分⊥1AA 平面1111D C B A∴平面1111D C B A 的一个法向量为)4,0,0(1-=AA ………3分 设直线AM 与平面1111D C B A 所成角为θ，则33434sin 11=⨯=⋅=AA AM AA AM θ ……………4分 ∴直线AM 与平面1111D C B A 所成角的正弦值为33……5分 (2)由(1)知),1,1,1(),0,2,0(==DM MN 设平面ABNM 的法向量为),,,(1z y x n = 由,0,011=⋅=⋅AM n MN n 得⎩⎨⎧==++-.02,0y z y x令1=x ，则0,1==y z∴平面ABNM 的一个法向量为 )1,0,1(1=n ……………6分 设平面CDMN 的法向量为),,(2z y x n = 由0,022=⋅=⋅MN n DM n ，得⎩⎨⎧==++.02,0y z y x令1=x ，则0,1=-=y z∴平面CDMN 的一个法向量为)1,0,1(2-=n ……………7分,0)1(101121=-⨯++⨯=⋅n n∴平面ABNM⊥平面CDMN ． ……………8分 ∴二而角A 一MN 一C 的余弦值为0． ……………9分 (3)如图将多面体ABCD MN -补成一个直三棱柱,1BCQ ADQ - 依题意知,211====CQ BQ DQ AQ ,11==NQ MQ ,4,21==AA AD多面体ABCD MN -的体积等于直三棱柱1BCQ ADQ -的体积减去两个等体积的三 棱锥ADQ M -和1BCQ N -的体积2224AD DQ AQ ==+ .90 =∠∴AQD∴直三棱柱1BCQ ADQ -的体积为,442221211=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=AB DQ AQ V …………………………10分三棱锥ADQ M -的体积为⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=31122213121312MQ DQ AQ V …………………………11分∴多面体ABCD MN -的体积为310324221=-=-=V V V …………12分 长方体1111D C B A ABCD -的体积为.3242413=⨯⨯=⋅⋅=AA CD AB V ……13分 ∴建筑物的体积为31063=+V V ………………14分 19．(本小题满分14分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的 数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解法1：由⎩⎨⎧=+=yx m x y 4,22消去,y 得.0482=--m x x ……………1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，04482=⨯+=∆∴m ，解得4-=m …………3分∴直线l 的方程为42-=x y ……………4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为),,(00y x由241x y =，得x y 21=' ∴直线l 的斜率0210x y k x x ='== ……………1分 依题意得2210=x ，解得.40=x ……………2分 把40=x 代入抛物线2C 的方程，得.40=y ∵点),(00y x 在直线l 上，,424m +⨯=∴解得.4-=m ……………3分∴直线l 的方程为.42-=x y ……………4分(2)解法l ：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分 设点)1,0(1F 关于直线l 的对称点为),(001y x F则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⨯=+-=⨯-42221,1210000x y x y ……………7分解得⎩⎨⎧-==.1,400y x∴点)1,4(1-F ……………8分∴直线l 与直线1:21-=y F F 的交点为)1,23(0-P ……………9分 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆.1C 的长轴长,4||||||||||2212121=≥+=+=F F PF PF PF PF a ……………11分 其中当点P 与点0p 重合时，上面不等式取等号．211.2≤=∴≥∴a e a 故当2=a 时，,21max =e ……………12分此时椭圆1C 的方程为13422=+x y ，点P 的坐标为)1,23(- ……………14分解法2：∵抛物线2C 的焦点为),1,0(1F依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为)1,0(),1,0(21-F F ……………5分设椭圆1C 的方程为),1(112222>=-+a a x a y ……………6分由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=11422222a x a y x y 消去,y 得0)16)(1()1(16)45(22222=--+---a a x a x a (*) ……………7分由0)16)(1)(45(4)]1(16[22222≥-----=∆a a a a ……………8分 得020524≥-a a ……………9分 解得.42≥a.2≥∴a ……………10分 ⋅≤=∴211a e ……………11分当2=a 时，,21max =e 此时椭圆1C 的方程为.13422=+x y ……………12分把2=a 代入方程(*)，解得,23=x .1-=y ……………13分 ∴点P 的坐标为)1,23(- ……………14分 20．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识，考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解：函数)(x f 的定义域为(0，+∞)． ……………1分xx ax ax x x f 111)(2---=+-=' ……………2分①当0=a 时，0)(,0,1)(>∴>+='x f x xxx f ∴函数)(x f 单调递增区间为(0，+∞)． ……………3分②当0=/a 时，令0)(='x f 得012=---xx ax .41.01.02a x ax x +=∆∴=--∴>(i)当0≤∆，即41-≤a 时，得012≤--x ax ，故0)(≥'x f ∴函数)(x f 的单调递增区间为(0,+∞) ……………4分 (ii)当0>∆，即41->a 时，方程012=--x ax 的两个实根分别为 ,24111a a x +-= aax 24112++=……………5分 若041<<-a ，则0,021<<x x ，此时，当),0(+∞∈x 时，.0)(>'x f∴函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)， ……………6分 若0>a ，则0,021><x x此时，当),0(2x x ∈时，0)(>'x f ，当),(2+∞∈x x 时，,0)(<'x f∴函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a 单调递减区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞++,2411a a 分7综上所述，当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++aa 2411,0，单调递减区间 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞++,2411aa 当0≤a 时，函数)(x f 的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间． …………8分 (2)解：由(1)得当0≤a 时，函数)(x f 在(0，+∞)上单调递增，故函数)(x f 无极值；…………9分当0>a 时，函数)(x f 的单调递增区间为,2411,0⎪⎪⎭⎫⎝⎛++a a 单谢递减区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+++，a a 2411 则)(x f 有极大值，其值为2222221ln )(x ax x x f +-=，其中a a x 24112++=…10分 而01222=--x ax ，即1222+=x ax21ln )(222-+=∴x x x f ……………11分 设函数)0(21ln )(>-+=x x x x h ，则0211)(>+='x x h ……………12分则21ln )(-+=x x x h 在(0，+∞)上为增函数．又0)1(=h ，则0)(>x h 等价于.1>x021ln )(222>-+=∴x x x f 等价于12>x ……………13分 即在0>a 时，方程012=--x ax 的大根大于1，设,1)(2--=x ax x ϕ由于)(x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，-l)，对称 轴021>=ax ，则只需0)1(<ϕ，即011<--a ，解得2<a ，而.0>a 故实数a 的取值范围为(0，2)． ………………14分 说明：若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分． 1．由于aa a a a a a a 412121412121241122++=++=++在(0，+∞)是减函数， 而12411=++aa 时，,2=a 故12411>++a a 的解集为(0，2)，从而实数a 的取值范围为(0，2)2．直接解不等式12411>++aa，而0>a 通过分类讨论得出实数a 的取值范围为(0，2)．21．(本小题满分l4分)(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想方 法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识） (1)解：由于对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyyx f y f x f --=- 令0==y x ，得),0()00100()0()0(f f f f =⨯--=-解得.0)0(=f ……………1分令,0=x 得)()010()()0(y f yyf y f f -=⨯--=-,0)0(=f )()(),()(0y f y f y f y f -=--=-∴即 ……………2分∴函数)(x f 是奇函数． ……………3分 (2)解：先用数学归纳法证明10<<n a ①当n=1时211=a ，得.101<<a 结论成立． ②假设n=k 时，结论成立，即10<<k a 当1+=k n 时,由于012,1021>+=<<+kkk k a a a a 又.12212212221==⨯<+=+⋅k kkk k k k a a a a a a a .101<<∴-k a即1+=k n 时，结论也成立．由①②知对任意.10,*<<∈n a N n ……………………4分求数列)}({n a f 的通项公式提供下面两种方法． 法l ：)()())(1)(()12()(21n n n n n n n n n a f a f a a a a f a a f a f --=-⋅---=+=+……………5分 ∵函数()x f 是奇函数),()(n n a f a f -=-∴)(2)(1n n a f a f =∴+ ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分法2：)1()()(111nn nn n n a a a a f a f a f +++--=- ……………5分),(11211223222n nn n n n n n n a f a a a f a a a a a f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+= ⋅=∴+)(2)(1n n a f a f ……………6分∴数列)}({n a f 是首项为1)21()(1==f a f ，公比为2的等比数列．∴数列)}({n a f 的通项公式为12)(-=n n a f ……………7分(3)证法l ：由(2)知,10<<n a01)1(122221>+-=-+=-+nn n n n n n n a a a a a a a a n n a a >∴+1 ……………8分)2,(12121*1≥∈<<⋅=∴n N n a a n 且 ),,(210*m n N m n a a m n >∈<-<∴且 ……………9分当2≥k 且*N k ∈时，ka a a a A a kk k k +++-=- 21ka a a a a a k k k k )()()(121--++-+-=……………10分k k 21-< …………11分k 2121-= 21<. 210<-<∴k k A a . …………12分 011=-A a ，∴当2≥n 时，21011-<-<∑∑==n A a i ni n i i . ………13分 ∴当2≥n 时，21||11-<-∑∑==n A a ni i ni i . ………14分 证法2：由(2)知10<<n a ，n n n n n a a a a a -+=-+2112 01)1(22>+-=nn n a a a ， n n a a >∴+1. ……8分121,211<<=∴n a a (n∈N *，且2≥n ) *),(21||N m n a a m n ∈<-∴. ……9分下面用数学归纳法证明不等式21||11-<-∑∑==n A a ni i n i i 成立． ①当n=2时，左边=++-+=|)2(|21121a a a a a =<⨯<-212121||2112a a 右边． ∴n=2时，不等式成立. ………10分 ②假设*),2(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即21||11-<-∑∑==k A a ki i k i i ， 则n=k+1时， 左边||1111i k i k i i A a ∑∑+=+=-=--+=∑∑=+=ki i k k i i A a a 111|1121+++++k a a a k ……………11分+-=∑∑==ki i ki i A a 11)(||1)()1(211++++-++k a a a a k k k)(|11||1111a a k A a k ki i ki i -++-≤+==∑∑|)()(121k k k a a a a -++-+++ ……12分|(|112111a a k k k -++-<+|)|||121k k k a a a a -++-+++ )212121(1121+++++-< k k21121k k k ⨯++-=)1(212121+-+-=k k 2121+-<k =-+=21)1(k 右边． ……………13分1+=∴k n 时，不等式也成立． 由①②知，当2≥n 时，21||11-<-∑∑==n A a ni in i i成立． ………………14分 证法3：由(2)知),,3,2,1(10n k a k =<<，故对11-≤≤n k ，有k n ak a ki ink i i -<<<<∑∑=+=110,0. ……………8分由于对任意x>0，y>0，有},max{||y x y x <-，其中},max{y x 表示x 与y 的较大值． 于是对11-≤≤n k ，有|1)11(|||11i nk i i k i k n a n a k n A A ∑∑+==--=- ……9分|)11(1|11i ki i n k i a n k a n ∑∑=+=--= })11(,1max {11i ki i n k i a n k a n ∑∑=+=-< …………10分})11(),(1max{k n k k n n --≤)1,,3,2,1(1-=-=n k nk. ……………11分故||||111ini nn i in i iA nA A a ∑∑∑===-=-+-+-=)()(|21A A A An n|)(1--+n n A A ……12分||||||121--++-+-≤n n n n A A A A A A)11()21()11(n n n n --++-+-< ……………13分nn n )1(321)1(-++++--=212)1()1(-=---=n n n n n . ……………14分。