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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在地震勘探中，地震波传播的实际介质是十分 复杂的。在一定条件下，即震源作用时间短，作用 力微小，地球介质可以看作完全弹性模型，但随着 地震勘探技术的发展，勘探精度要求提高，面临复 杂地质目标时，要求地震勘探采用更加符合实际的 介质模型进行研究。粘弹性介质模型更符合实际。
但是到目前为止，在地震资料反演处理中应用 最多的还是声波方程，弹性波以及粘弹性波方程的 应用还只是停留在模拟层次上。
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相对于上述几种方法，有限差分法是一种更为快速 有效的方法。虽然其精度比不上有限元法，但因其具 有计算速度快，占用内存较小的优点，在地震学界受 到广泛的重视与应用。
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内容提纲
一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟
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四、声波方程的有限差分法数值模拟
声波方程数值模拟
――地球物理场论 基础Ⅰ期末作业（1）
任课教师： 宋鹏
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内容提纲
一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟
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同相轴为双曲线，即反射波的时距曲线为双 曲线，反射波一个同相轴可带来一个地层的信息。 实际地下介质非常复杂，所得到的炮集记录也包含 更多的地下信息。实际的炮集记录见图1-1和1-2。
t
x
z 14
能够描述纵、横波的传播规律，包括直达波、反 射波、透射波、折射波以及转换波等。
需要的已知条件包括： 1）震源函数 2）地层速度或根据方程的类型需要提 供的地层的其它弹性参数 3）边界条件
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3、粘声波/弹性波方程 前面讨论的是理想弹性介质，波在其中传播时，
没有能量的损耗，介质中应力和应变关系严格遵循 胡克定律（这种理想介质称虎克固体），但波在实 际介质中传播时，是有能量损耗的，这就是所谓的 弹性波吸收。波在传播过程中，实际介质的不同部 位之间会出现某种摩擦力，称为内摩擦力或粘滞力。 这种力导致机械能向其他形式能量转换，最终转化 为热能消耗掉。
对于二维速度-深度模型，地下介质中地震波 的传播规律可以近似地用声波方程描述：
2u t 2
v
2
(
2u x2
2u z 2
)
S (t )
(4-1)
v(x, z) 是介质在点（x , z）处的纵波速度，
u 为描述速度位或者压力的波场，
s(t) 为震源函数。
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空间模型网格化（如图4-1所示）：
i 2, j2
t
x y z
vx 1 (P )
t x
vy 1 (P )
t y
vz 1 (P )
t z
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二、波动方程类型及其局限性
能够描述且只能描述纵波的传播规律，包括 直达波、反射波、透射波、折射波等，但不能描 述转换波传播规律。
需要的已知条件包括： 1）震源函数 2）地层速度/密度 3）边界条件
i 2, j 1
i 1, j 1
i 1, i, j 2 j 2
i 1, i, j 1 j 1
i 2, j2
i 2, j 1
i 2, j i 1, j i, j
i 1, j i 2, j
z
i 2,
i 1,
i 1, i 2,
j 1
j 1
i, j 1 j 1
j 1
i 2, j2
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傅里叶变换法是利用空间的全部信息对波场函数 进行三角函数插值，能更加精确地模拟地震波的传播 规律，同时，利用快速傅里叶变换(FFT)进行计算，还 可以提高运算效率，其主要优点是精度高，占用内存 小，但缺点是计算速度较慢，对模型的适用性差，尤 其是不适应于速度横向变化剧烈的模型。
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波动方程有限元法的做法是：将变分法用于单元分 析，得到单元矩阵，然后将单元矩阵总体求和得到总体 矩阵，最后求解总体矩阵得到波动方程的数值解；其主 要优点是理论上可适宜于任意地质体形态的模型，保证 复杂地层形态模拟的逼真性，达到很高的计算精度，但 有限元法的主要问题是占用内存和运算量均较大，不适 用于大规模模拟，因此该方法在地震波勘探中尚未得到 广泛地应用。
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内容提纲
一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟
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三、数值算法类型及其优缺点
地震波波动方程数值模拟方法主要包括克希霍夫积 分法、傅里叶变换法、有限元法和有限差分法等。
克希霍夫积分法引入射线追踪过程，本质上是波动 方程积分解的一个数值计算，在某种程度上相当于绕射 叠加。该方法计算速度较快，但由于射线追踪中存在着 诸如焦散、多重路径等问题，故其一般只能适合于较简 单的模型，难以模拟复杂地层的波场信息。
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2、弹性波方程：
2u t 2
v
p
2
(
2u x 2
2u z 2 ) S (t)
2
w
t 2
vs
2
(
2w x 2
2w z 2 )
vx
xx
xz
t
x
z
vz xz zz
t
x
z
xx ( 2u) vx vz
t
x
z
zz vx ( 2u) vz
t
x
z
xz u vz u vx
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内容提纲
一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟
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二、波动方程类型及其局限性
1、声波方程：
二阶标量声波方程： 一阶压力-速度方程组：
2 p t 2
v2
(
2 p x2
2 p z 2
)
S(t)
P C2 (vx vy vz )
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图1-1 陆上某区实际地震记录
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图1-2 海上某区实际地震记录
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广义的地震反演即是从地震炮集记录出发，经 过复杂的去噪、速度分析以及偏移成像处理等手段 得到反映地下的地质结构的地震剖面。实际的地震 剖面见图1-3和1-4。
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图1-3 陆上某区地震剖面
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图1-4 海上某区地震剖面
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地震波场模拟即地震正演，是指已知模型结构， 通过物理或数值计算的方法模拟该地质结构下的地 震波的传播，最终合成地震记录，也可以认为其是 野外数据采集过程的室内再现。物理模拟花费昂贵， 人们一般采用比较经济的数值模拟技术。地震波场 数值模拟是在给定数学模型（如弹性波方程，声波 方程等）、震源和地下几何界面、物性参数（岩层 密度、速度等）情况下，研究弹性波或声波的传播 规律。