求边值问题，研究区域边界上位势(或其导数)是已知的（边界条件）。 在对网格节点编号时先编区域内部的号，后对边界点编号，分区处理 可简化方程，以下角标f表示区域内节点，下角标p表示边界上节点
整理得 解线性矩阵方程式，求取研究区域内各节点的位势Vf，有唯一解。 其精度取决于三角元的尺度
三、积分方程法
不足：积分方程方法涉及较复杂的数学推导 优点：仅需在异常区求出未知场
模 式拟中二，维u表地示电电断位面边，电界f表场节点 示源项。
内节点
3、微分方程离散化，构组差分方程
i k i-1,k
i,k-1 i,k i+1,k
i,k+1
ux,uxx,…和uz，uzz，…分别表示u对x和z的一阶、二阶导数等
含源分区均匀岩石中位函数二维差分方程 无源分区均匀岩石中位函数二维差分方程
2．时间域电磁场的模拟准则
3．模拟模型的种类-4种
导电性溶 液 或固体 作为均匀 介质
导电性 更好的 覆盖
4、物理模报实验装置
5．模型材料
超声波模拟 几何相似性
L为几何尺度，为波长
物理相似性
速度比和密 度比相似
纵、横波速度 比的相似性
地球模型建立的要求：
模型应能够反映主要地质构造和岩石、矿物特征， 具有代表性或普遍性（共性）、针对性（目的性）、 特殊性（特殊问题）
地球物 理模拟
物理模拟
数学 模拟法
概念：将描述各种地球物理场的 方程或表达式及初、边值条件通 过数值方法求出它们的数值解。
相似原理
解析方法 数值 模拟法
正演主要工具
投资大，选材难， 结果真实，
最简捷方便 ，仅适 用少数简单模型
效率高，机时少， 周期短，费用低。
数学模拟方法求解地球物理正演问题的一般步骤：
在各向同性均匀介质、平面波入射假设条件下，标量波动方程
传播问题
在二维情况下，
zz|z=0=ux=0，zx|z=0=uz=0
初始条件 （自由表面）边界条件
2、区域离散化
采用正方形网格元进行网格划分， 步长h；m，n为当前网格节点的横 向及垂向编号;l时间取样号
差分方程式
利用差分方程式，由上至下，由左至右并随时标l增加计算 空间任一点(m，n)的波场um，n，l+1便得到波传播图像， um，0，l是地面直达波和反射波场的合成记录。
下角标dis表示组合前不连接的三角元。对应这两个元的未组合能量写为矩阵
未组合能量
两个三角元连接前、后满足以下关系
下角标con注记已联接，对应连接后的总能量变为
连续近似的势能分布被表示为与元顶点位势向量有关的二次型
5、方程求解计算
记k为网格节点(连接后多个三角形的顶点)的编号，则 Laplace方程的 有限元近似解要将连接网中的势能极小化。——变成了求极值问题 则势能极小化为
第一步，地质建模： 据研究对象和问题建立地球模型 或地质结构模型；
第二步，数学建模： 据使用的物理手段和地球模型建 立相应的数学模型；
第三步，模拟计算： 选择计算方法，编制计算程序， 进行数值计算。
地球模型建立的要求：
模型应能够反映主要地质构造和岩石、矿物特征， 具有代表性或普遍性（共性）、针对性（目的性）、 特殊性（特殊问题）
一次场方程组——可求解
其是电导率为1的均匀介质内的场
定义：二次场为实测场（总场）与一次场之差，并用上角标s表示
整理得二次场方程
二次场方程组
可转换成积分方程，求解
是散射电流，仅在异常体中才存在
表明：二次场可以认为是由异常体中的散射电流Js引起的。
建立二次场方程的积分方程
二次电场可通过将散射电流源Js乘以适当的并矢格林函数G(r，r/)， 并对异常体所占的体积做积分而得，
常用微分方程及其泛函 Poisson方程 ：
泛函： 非其次Helmhotz方程 ：
泛函： 标量波动方程 ：
泛函： 频域电磁波似稳电磁场方程 ：
泛函：
有限元法解二维Laplace方程举例
1、介质剖分——采用单纯形单剖分元
所谓单纯形，在平面上为三角形，三维空间为四面体 由于三角元以公共边界及顶点连接成网，势的分布在穿过单元 时保持连续。
值越小，计算值与理论值越接近。
矛盾：减小步长h将成倍增加计算节点数目，增加计算机内存需
求和计算时间。降低了效率，增加了费用
解决计算速度与精度矛盾的较好方法：采用变步长，即在
近区将网格分得密些，远区影响较小，可分得稀些。
弹性波场计算举例 1、反射地震中波传播方程
密度不均匀介质弹性波标量波动方程
激发问题
将比例关系代入野外方程得模型参数描述的野外方程
按照模拟准则，要使模拟结果与实际一致，野外和模型磁场满足的波动 方程应完全相同，对比可以写出
模拟准则——参数比例尺
上式两边为响应参数k2r2，亦称综合参数,右端=1，表明：具有相同综合 参数的每个系统必定产生相同的电磁响应 ，与、、及l的具体数值 无关。因此，模拟准则简化为
模型不宜太复杂，否则无法建立相应的数学模型； 或者计算结果太复杂，难以分析、辨认地质特征与地 球物理场特征之间的联系。
常用数值 计算方法
有限差分法 有限元法 积分方程法
计算速度快 微分方程法，适于模拟复 边界刻化好 杂的地质情况
涉及较复杂的数学推导，仅需在异常区求 出未知场，经济，易于处理三维模拟问题
模型的物性参数一 般也应按一定的比例改变； 观测装置要微型化。 缩小模型响应能代表野外实际模型响应
模拟准则：使实际模型场与模拟场具有相同的幅值和规律
一、电磁场物理模拟的基本原理 1．频率域电磁场的模拟准则
野外条件下地 电体参数方程
模型条件下地 电体参数方程
室内模型模拟系统尺寸与野外比例关系为1/l——几何结构比例尺
正演方法
云美厚
河南理工大学资源与环境学院
地球物 理学的 问题
基础
正演 问题
反演 问题
目的
按事物一般原理（或模型）及相关的条 件（初始条件、边界条件）来预测事物 的结果（可由观测可得
据地球物理场的实际观测值（有时也用 理论计算值）定量或定性解释推断地球 内部结构（地质体形态和岩层物性）。
应用地球物理学的基本方程式——阻尼标量波动方程
2、将势场u展成某种简单函数和系数的线性组合 假定，单元内势可用线性(一阶)方程表示，有 V=a+bx+cy 沿三角元边缘势V可以由相应两角点势值线性内插而 来，如果两个三角元共用一条边，则位势在跨单元时 保持连续。 为求各系数，设三个顶点上势为V1，V2，V3
用Cramer准则解线性方程组，求得系数a,b,c的表达式。代回原方程可 得三角元内任一点位势的一阶近似式
其一般只对基本方程中的空间微分算子作逼近，而与时 间微分有关的计算仍然多采用有限差分法。 基本原理：变分原理或最小势能原理
认为：对与势场能量有关的泛函极小化等效于直接解 相应的场的方程
对Laplace方程
势场能量表达式
***满足Laplace方程的势场，同时也是满足势场能量 F(u)取极小的场。
有限差分法采用了直接解方程的办法，有限元法采用了F(u)极小化逼近势场
4、线性方程组的形成与求解
式中[A]是方程组的系数矩阵。其与 物性参数(如电阻率)分布有关； {u}是电位u的列向量，其分量为所 有节点上的电位； {F}是常向量。
当给定电阻率分布（空间分布，模型结构）及边界条件后，解 线性方程式便可求得电位的空间分布
计算精度：主要决定于步长h。一般说来，网格划分越细，即h
基本方程式的有限差分格式 （2D）
有限差分波动方程模拟结果演示实例
地质模型
炮集1 快 照
1 2
3 4
5 6
7
模型边界产生的 假象
蝴蝶结
山顶激发波动方程正演模拟记录
炮集2 快照
1 2
蝴蝶结
3 4
5 6
7
山谷激发波动方程正演模拟记录
二、有限单元法 突出优点：界面刻画能力强。对与复杂介质结构有关的 偏微分方程边值问题的数值计算适应性强。
三角元内任一点位势的一阶近似式
系 数 为
A为三角元的 面积 ，且有
3、单个元内位势能
写成矩阵形式有
至此，对单个元的近似已经完成
4、三角元连接组合求取总势能
整个区域的势能为单个三角元势能之总和。根据最小势能准则，使整个 研究区域势能极小化，就是使所有三角元组合后的势能极小化 两个元组合方法：设一对元在连接前的顶点位势可写成以下列向量
式中，u表示地球物理场的一种，如声场．电磁场的某一分 量等；f(x,t)为源函数；x为空间的一个点；t为时间；系数h和 g对不同场有不同的物理意义。
位场：在场源外区域满足拉普拉斯方程的物理场称为，如 重力场、磁场和稳定场， 如电磁场、弹性波场
求解正 演问题
一般步骤：
（1）区域离散化网格剖分：确立合适网格步长，边界节点定位 步长选择很重要——决定计算精度、速度
（2）微分方程离散化——构建差分方程 边界条件离散化——构建边界条件差分方程 初始条件离散化——构建初始条件差分方程
（4）线性方程组形成与求解
位场计算举例： 1、位场所满足的方程
有源 无源
2、区域网格剖分
有限差分计算必须满足的条件如下：
(1)时间取样率t(t=lt)满足t≤h/c
(2)震源信号的主周期T<10h/c，否则有严重的频散。
(3)由于地下介质无限，而计算网格有限，计算网格 的边界必须是吸收边界。
(4)震源必须作专门处理，即在源点加入f(t) 信号。 有限差分计算的优点与不足：
优点：简明快速 不足：边界刻划能力弱。因只能使用矩形网格，对复杂 的地质构造不能准确地模拟，如，反射地震中常见的倾 斜界面、电法勘探中的局部不规则电性不均匀体等。