解：取沉放在原点 O, OY 轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得
m
d2y dt 2
=
mg
-
Br
-
kv
，
将
d2y dt 2
=
v
dy dt
代入以消去 t
，得 v与y
之间的微分方程 mv
=
y - b3 b1 - b2
=
z - c3 与直 线 c1 - c2
x - a1 a2 - a3
=
y - b1 b2 - b3
=
z - c1 c2 - c3
(A) 相交于一点 (B) 重合
(D) 平行但不重合
(D) 异面
【答】 应选 (A) .
éa1 b1 c1 ù
a1 b1 c1
【解】 因 êêa2
则 ( A* ) 2 + E 必有特征值
.
【答】 应填 [ A ]2 +1. l
【解】 因 A 有特征值 l ，故 A-1 必有特征值 1 , 从而 A* = A A-1 必有特征值 | A | ，
l
l
因此 ( A* ) 2 + E 必有特征值 ( A )2 +1. l
(5) 设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成，二维随机变量 ( X ,Y ) 在
【解】
¶z ¶x
=
-
1 x2
f (xy) +
y x
f ¢(xy) +
yj ¢(x +
y) = yf ¢¢( xy) + j ¢(x +
y) +
yj ¢¢(x +
y) .
Ñò (3)
设 L 为椭圆
x2 4
+
y2 3
= 1，其周长记为 a ，则
L (2xy + 3x2 + 4 y2 ) ds =
.
【答】 应填12a .
三、（本题满分 5 分）
求直线
l
:
x -1 1
=
y 1
=
z -1 -1
在平面p : x - y + 2z -1 = 0 上的投影直线 l0 的方程，并
l0 求绕 y 轴旋转一周所成的方程.
解一：设经过 l 且垂直于平面p 的平面方程为p1 : A(x -1) + By + C(z -1) = 0 ， 则由条件可知 A - B + 2C = 0, A + B - C = 0 ，由此解得 A : B : C = -1: 3 : 2 .
原式= lim 2 x®0
11+ x 2
2x
1 1- x
= lim 1- x x®0 4x 1+ x
1+ x 1- x
= lim x®0 4x
1+ x
-2x 1- x( 1+ x +
1-
x
)
=
-
1 4
；
【解法二】 将分子中的 1- x 和 1+ x 分别按 Peano 余项的Taylor 公式展开，可得
原式=
lim
x®0
1+
1 2
x
-
1 8
x2
+
o(x2
)
+1x2
1 2
x
-
1 8
x2
+
o(x2
)
-
2
=
lim(-
x®0
1 4
+
o( x 2 x2
))
=
-
1 4
.
(2)
设z
=
1 x
f
(xy) +
yj(x +
y)
，其中
f ,j
具有二阶连续导数，则
¶2z ¶x¶y
=
.
【答】 应填 yf ¢¢( xy) + j ¢(x + y) + yj ¢¢(x + y) .
(3)
已知函数 y =
f
(x)
在任意点
x
处的增量
Dy
=
yDx 1+ x2
+ a ，且当 Dx ® 0
时，a
是 Dx 的
高阶无穷小量， y(0) = p ，则 y(1) 等于
(A) 2p
(B) p
p
(C) e 4
p
(D) p e 4
【答】 应选 (D).
【解法一】
由题意， Dy
=
yDx 1+ x2
+a
二元函数 u(x,
y)
的梯度的充要条件是
¶Q ¶x
º
¶P ¶y
.
……1 分
此即 4x(x4 + y4 )l (l +1) = 0 ，解之得 l = -1 .
……3 分
于是，在右半平面内任取一点，例如（1，0）作为积分路径的起点，则得
u(x,
y)
=
ó (x,y) ôõ(1,0)
2xydx - x2dy x4 + y2
，且 lim a x®0 Dx
= 0 ，于是有
dy dx
=
lim
x®0
Dy Dx
=
lim[ x®0 1
y + x2
+
a Dx
]
=
y 1+ x2
，即
dy y
=
dx 1+ x2
.
两边积分得， ln y = arctanx + C1 ，即 y = Cearctan x . 于是由 y(0) = p ，知 C = p .
b2
c2
ú ú
是满秩的，所以行列式
a2
b2
c2 ¹ 0 ，从而
êëa3 b3 c3 úû
a3 b3 c3
(a2 - a3 ) : (b2 - b3 ) : (c2 - c3 ) ¹ (a1 - a2 ) : (b1 - b2 ) : (c1 - c2 ) ，故两直线不平行，由此可
排除除(B)和(C).
f
( x,
y)
=
ìï í
1 2
, (x,
y) Î
D
.
ïî0, (x, y) Ï D
ò 因此 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为 fX (2) =
1 2 0
1 2
dy
=
1 4
.
二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
ò (1)
设
f
(x)
连续，则
d dx
显然 t = 1时，上述三式相等，表明此时相应的点也在第二条直线上，故选(A).
(5) 设 A、B 是随机事件,且 0 < P ( A) < 1, P ( B) > 0, P(B | A) = P(B | A) ,则必有
(A) P( A | B) = P(A | B) (C) P( AB) = P( A)P(B)
1998 年 • 第 3 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1998 年数学试题详解及评分参考
又令 x - a3 a1 - a2
=
y - b3 b1 - b2
=
z - c3 c1 - c2
= t, 可把第一条直线化为参数式：
x = a3 + t (a1 - a2 ), y = b3 + t（b1 - b2 ), z = c3 + t (c1 - c2 )
p
从而 y = p earctan x ，因此 y(1) = p earctan1 = p e 4 .
【解法二】
因
Dy
=
1
y + x2
Dx + a
，而 Dx ® 0
时，a
是 Dx 的高阶无穷小量，故由微分
的定义知，dy
y = 1+ x2
dx
，即
dy y
dx = 1+ x2
.
于是有 ln
y
= arctanx + C1 ，即 y
四、(本题满分 6 分)
确定常数 l ，使在右半平面
x
>
0
上的向量
ur A(x,
y)
=
2xy(x4
+
y2
r )l i
-
x2 ( x4
+
y2
)l
r j
为某二元函数 u(x, y) 的梯度，并求 u(x, y) . ur
解：令 P = 2xy(x4 + y2 )l , Q = -x2 (x4 + y2 )l . 则 A(x, y) 在右半平面 x > 0 上为某
= Cearctan x .
p
又由 y(0) = p ，知 C = p . 故 y = p earctan x ， y(1) = p earctan1 = p e 4 .
(4) 设 矩 阵
é a1 êêa2 êëa3
b1 b2 b3
c1 ù
c
2
ú ú
c3 úû
是满秩的，则直线
x - a3 a1 - a2
+
C
=
óx ôõ1
2x × 0dx x4 + y2
-
óy ôõ0
x2dy x4 + y2
+C
=
- arctan
y x2
+C