K
2
=
i ( 0 ) ω 0 C
K2 φ = − Arctg K1
的表达式可知, 都为等幅振荡响应. 从Uc(t)和i(t)的表达式可知 Uc(t)和i(t)都为等幅振荡响应 和 的表达式可知 和 都为等幅振荡响应 由于R=0,能量不能被消耗 只能反复由电场能转换为磁场能 能量不能被消耗,只能反复由电场能转换为磁场能 由于 能量不能被消耗 只能反复由电场能转换为磁场能, 再由磁场能转换为电场能,这种电路称为 自由振荡电路。 这种电路称为LC自由振荡电路 再由磁场能转换为电场能 这种电路称为 自由振荡电路。
14
U c ( t ) = U 0 (1 + α t ) e
−α t
I 0 −α t + te C
i ( t ) = I 0 (1 − α t ) e − α t − α 2
说明： 说明： Uc(t)和i(t)的波形仍为非振荡情况 和 的波形仍为非振荡情况
R 2 1 L 3、 、 ( ) 〈 ,即R〈2 (电阻较小 )时，称为欠阻尼情况 2 L LC C
称为过阻尼情况 称为过阻尼情况 过阻尼
此时S 为不相等的负实根。 此时 1,S2为不相等的负实根。令：S1= -α1, S2= - α2 则：
U c ( t ) = K1e
− α1t
+ K 2e
−α 2t
利用初始条件： 利用初始条件：
U c ( 0 ) = K 1 + K 2 =U dU c dt
t=0
满足元件的VCR。 。 满足元件的
(t )
dt
上述两式表明： 上述两式表明：
u c (t ) = cos t iL (t ) = sin t
因此， 回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的 回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。 因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。
7
3、 LC电路中的储能 、 电路中的储能 根据电容和电感的储能公式，可得 回路的储能为 回路的储能为： 根据电容和电感的储能公式，可得LC回路的储能为：
(e) + U0 -
C
4
由此可见， 由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构 成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移， 成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移， 电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性， 电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成振 荡。这种电路中不含电阻由初始储能维持的振荡是一种 等幅振荡。 等幅振荡。 如果电路中含有电阻， 如果电路中含有电阻，在能量转移过程中要被电 阻消耗，振荡将不可能是等幅的， 阻消耗，振荡将不可能是等幅的，幅度会逐渐衰减而 趋于零。这种振荡称为阻尼振荡 阻尼振荡。 趋于零。这种振荡称为阻尼振荡。 如果电路电阻较大， 如果电路电阻较大，在能量初次转移过程中大部 分能量就被电阻消耗，将不可能产生振荡。 分能量就被电阻消耗，将不可能产生振荡。
d 2U LC dt 2 U
c
c
+ RC
dU dt
c
+ U
c
= 0
(0 ) = U
0
dU dt
c t=0
=
i(t ) C
t=0
=
I0 C
dU c dt di ( t ) d 2U c U L (t ) = L = LC dt dt 2 i(t ) = C
9
特征方程为： 特征方程为：LCS2+RCS+1=0 特征根为： 特征根为：
− RC ± ( RC)2 − 4 LC R R 2 1 S1,2 = =− ± ( ) − LC 2LC 2L 2L
2 = −α ± α 2 − ω0
其中： 其中：
R ;ω 0 = α= 2L
1 。ω0称为电路的谐振角频率 LC
10
1、当 、
R 2 1 L ( )〉 , 即R〉 2 时， C 2 L LC
此时， 为一对共轭复数， 此时，S1,S2为一对共轭复数，即 其中： 其中：
S1, 2 = −α ± jω d
R α= 2L
ωd =
1 R 2 2 2 − ( ) = ω0 − α LC 2Lω =1 LC16
U c (t ) = e −αt ( K 1 cos ω d t + K 2 sin ω d t )
R 2 1 L ) = ,即 R = 2 时，称为临界阻尼情况 2、当 、 ( 2L LC C
此时， 为两相等的负实根。 此时，S1, S2为两相等的负实根。 S1=S2= -α 故：
U c (t ) = ( K 1 + K 2t )e −αt
代入初始条件： 代入初始条件：
K1 = U c (0) = U 0 i ( 0) I0 K 2 = αU c (0) + = αU 0 + C C
或
U c (t ) = Ke −αt cos( ω d t + φ )
利用初始条件： 利用初始条件：可求出 K1, K2, 或 K,φ
K1 = U c ( 0 ) = U 0 I0 K2 = [αU 0 + ] c ωd 1
K =
K 12 + K 22
K2 φ = − Arctg K1
的表达式可以看出： 的波形是衰减振荡， 从Uc(t)的表达式可以看出： Uc(t)的波形是衰减振荡， 的表达式可以看出 的波形是衰减振荡 波形图如图 相似。 波形图如图7-6P253, i(t)和Uc(t)相似。 和 相似
C
(a) I
C
(b)
U0 +
C
(c)
3
(d)当电容电压达到 的瞬间，电容通过电感 当电容电压达到U0的瞬间 当电容电压达到 的瞬间， 又开始放电，只是放电电流与上一次放电电流 又开始放电， 方向相反。随放电电流的增加， 方向相反。随放电电流的增加，能量逐渐又转 移到电感的磁场中，电流又达到最大值。 移到电感的磁场中，电流又达到最大值。
(d)
C
I
(e)当电感电流达到最大值的瞬间，电容在该电 当电感电流达到最大值的瞬间， 当电感电流达到最大值的瞬间 流的作用下又被充电， 流的作用下又被充电，当电感电流下降到零的 瞬间，能量又全部转入到电容之中，电容电压 瞬间，能量又全部转入到电容之中， 又达到U0，电路状态又和初始时刻相同， 又达到 ，电路状态又和初始时刻相同，这意 味着上述过程将不断地重复进行。 味着上述过程将不断地重复进行。
17
时的特殊情况: 当R=0时的特殊情况 时的特殊情况
1 1 此时, S1 = S 2 = ± j , α = 0, ωd = ω0 = LC LC U c (t ) = ( K 1 cos ω 0 t + K 2 sin ω 0 t ) = K cos( ω 0 t + φ ) dU c i (t ) = C ( 形式与 U c (t ) 相同 ) dt K = K12 + K 22 利用初始条件可求出: 利用初始条件可求出 K 1 = U c ( 0 )
5
２、 LC电路中振荡的方式 电路中振荡的方式 右图中， 右图中，L=1H 、C=1F，uc(0)=1V、iL(0)=0。 + ， 、 。 根据元件的VCR可得： 可得： 根据元件的 可得 du c = − iL dt
Uc -
iL
C
di L = uc dt
上述两个联立的一阶微分方程表明： 上述两个联立的一阶微分方程表明：电压的存在要求有电流的 变化， 因此电压、 变化，电流的存在要求有电压的变化 。因此电压、电流都必须处 于不断的变化状态之中。 于不断的变化状态之中。 结合初始条件： 结合初始条件：uc(0)=1V、iL(0)=0。 、 。 可以猜想到： 可以猜想到：
2
§7-1
LC电路中的正弦振荡 电路中的正弦振荡
+ U0 -
1、 LC电路中能量的振荡 、 电路中能量的振荡 设：电容的初始电压为U0，电感的初始电流为零。 电容的初始电压为 ，电感的初始电流为零。 (a)在初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没有 在初始时刻，能量全部储于电容中， 在初始时刻 储能，电路的电流为零 由于U0的存在 的存在， 储能，电路的电流为零。由于 的存在，电容通过 电感放电，电路的电流开始增加， 电感放电，电路的电流开始增加，能量逐渐转移到 电感的磁场中。 电感的磁场中。 (b)当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零， 当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零， 当电容电压下降到零的瞬间 即di/dt=0，电路中的电流不在增加，达到最大值 ， ，电路中的电流不在增加，达到最大值I， 此时储能全部转入到电感。 此时储能全部转入到电感。 (c)由于电感电流不能跃变，此时电路的电流开始逐 由于电感电流不能跃变， 由于电感电流不能跃变 渐减小，电容在该电流的作用下又被充电，只是电 渐减小，电容在该电流的作用下又被充电， 压的极性不同。当电感电流下降到零的瞬间， 压的极性不同。当电感电流下降到零的瞬间，能量 又全部转入到电容之中。电容电压又达到U0， 又全部转入到电容之中。电容电压又达到 ，但极 性与(a)相反 相反。 性与 相反。
0
I0 = − K 1α 1 − K 2α 2 = C
K K
1
2
I0 α 2U 0 = + α2 − α1 (α 2 − α 1 ) C − α 1U 0 I0 = − (α 2 − α 1 ) C α2 − α1
代入 U c ( t ) = K1e −α1t + K 2 e −α 2t 即可求出 Uc(t) 和 i(t)。 。
w (t ) = 1 1 (sin 2 t + cos 2 t ) = J 2 2
1 1 Li 2 ( 0 ) + Cu 2 2
2
w (0 ) =