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2016年陕西省数学中考试题含答案

2016年陕西省初中毕业学业考试(考试时间:120分钟 满分:120分)第一部分(选择题 共30分)一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1. 计算:(-12)×2=( ) A. -1 B. 1 C. 4 D. -42. 如图,下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成,则它的左视图是( )3. 下列计算正确的是( )A. x 2+3x 2=4x 4B. x 2y ·2x 3=2x 6yC. (6x 3y 2)÷(3x )=2x 2D. (-3x )2=9x 24. 如图,AB ∥CD ,AE 平分∠CAB 交CD 于点E .若∠C =50°,则∠AED =( ) A. 65° B. 115° C. 125° D. 130°第4题图 第6题图 5. 设点A (a ,b )是正比例函数y =-32x 图象上的任意一点,则下列等式一定成立的是( ) A. 2a +3b =0 B. 2a -3b =0 C. 3a -2b =0 D. 3a +2b =06. 如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =8,BC =6.若DE 是△ABC 的中位线,延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ,则线段DF 的长为( )A. 7B. 8C. 9D. 107. 已知一次函数y =kx +5和y =k′x +7.假设k >0且k ′<0,则这两个一次函数图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图,在正方形ABCD 中,连接BD ,点O 是BD 的中点,若M 、N 是边AD 上的两点,连接MO 、NO ,并分别延长交边BC 于两点M′、N ′,则图中..的全等三角形共有( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对第8题图 第9题图 9. 如图,⊙O 的半径为4,△ABC 是⊙O 的内接三角形,连接OB 、OC .若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦BC 的长为( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 5 3 D. 6 310. 已知抛物线y =-x 2-2x +3与x 轴交于A 、B 两点,将这条抛物线的顶点记为C ,连接AC 、BC ,则tan ∠CAB 的值为( )A. 12B. 55C. 255D. 2 第二部分(非选择题 共90分)二、填空题(共4小题,每小题3分,计12分)11. 不等式-12x +3<0的解集是________. 12. (节选)一个正多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是________.13. 已知一次函数y =2x +4的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点.若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ,且AB =2BC ,则这个反比例函数的表达式为________.14. 如图,在菱形ABCD 中,∠ABC =60°,AB =2,点P 是这个菱形内部或边上的一点.若以点P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P 、D (P 、D 两点不重合)两点间的最短距离为________.第14题图三、解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程)15. (本题满分5分)计算:12-|1-3|+(7+π)0.16. (本题满分5分)化简:(x -5+91)3162--÷+x x x17. (本题满分5分)如图,已知△ABC ,∠BAC =90°,请用尺规过点A 作一条直线,使其将△ABC 分成两个相似的三角形.(保留作图痕迹,不写作法)第17题图18. (本题满分5分)某校为了进一步改进本校七年级数学教学,提高学生学习数学的兴趣.校教务处在七年级所有班级中,每班随机抽取了6名学生,并对他们的数学学习情况进行了问卷调查.我们从所调查的题目中,特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为:“A—非常喜欢”、“B—比较喜欢”、“C—不太喜欢”、“D—很不喜欢”,针对这个题目,问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计.现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请你根据以上提供的信息,解答下列问题:(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是________;(3)若该校七年级共有960名学生,请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人?第18题图19. (本题满分7分)如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接AF、CE.求证:AF∥CE.第19题图20. (本题满分7分)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小亮身高FG的影长FH=2.5米,FG=1.65米.如图,已知:AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.第20题图21. (本题满分7分)昨天早晨7点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛,赛后,他当天按原路返回.如图,是小明昨天出行的过程中,他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象.根据下面图象,回答下列问题:(1)求线段AB所表示的函数关系式;(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家?第21题图22. (本题满分7分)某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票参与抽奖活动.奖品是三种瓶装饮料,它们分别是:绿茶(500 ml)、红茶(500 ml)和可乐(600 ml).抽奖规则如下:①如图,是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成五个扇形区域,每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样;②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针所指区域的字样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”);③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”;④当顾客完成一次抽奖活动后,记下两次指针所指区域的两个字,只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关),便可获得相应奖品一瓶;不相同时,不能获得任何奖品.根据以上规则,回答下列问题:(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率;(2)有一名顾客凭本超市的购物小票,参与了一次抽奖活动.请你用列表或画树状图等方法,求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率.第22题图23. (本题满分8分)如图,已知:AB是⊙O的弦,过点B作BC⊥AB交⊙O于点C,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,取AD的中点E,过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F,连接AF并延长交BC的延长线于点G.求证:(1)FC=FG;(2)AB2=BC·BG.第23题图24. (本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5).(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.第24题图25. (本题满分12分)问题提出(1)如图①,已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG=5米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件.试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出裁得的四边形EFGH部件的面积;若不能,请说明理由.第25题图2016年陕西省初中毕业学业考试1. A2. C 【解析】本题考查了小立方块组合体的三视图.该几何体从左边看到的视图有两层,其中第一层是一个小正方形,第二层也是一个小正方形,故选C.3. D 【解析】本题考查了整式的运算.根据运算法则逐项分析如下:4. B 【解析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义.∵AB ∥CD ,∴∠C +∠CAB =180°,∵∠C =50°,∴∠CAB =130°,∵AE 平分∠CAB ,∴∠EAB =12∠CAB =65°.又∵AB ∥CD ,∴∠AED +∠EAB =180°,∴∠AED =180°-∠EAB =180°-65°=115°.5. D 【解析】本题考查了正比例函数的图象与性质.把点A (a ,b )代入y =-32x 中,得b =-32a ,即2b =-3a ,∴3a +2b =0.6. B 【解析】本题考查了三角形中位线的性质、平行线的性质以及勾股定理. ∵∠ABC =90°,AB =8,BC=6,∴AC =82+62=10,∵DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC ,DE =12BC =3,∵CF 平分∠ACM ,∴∠ACF =∠MCF ,又∵DE ∥BC ,∴∠EFC =∠MCF ,∴∠EFC =∠ACF , ∴EF =CE =12AC =5,∴DF =DE +EF =3+5=8.7. A 【解析】由题意联立两个函数解析式,得⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +5y =k ′x +7,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2k -k ′y =7k -5k ′k -k ′,∵k >0,k ′<0,∴k -k ′>0,7k -5k ′=2k +5(k -k ′)>0,∴x >0,y >0,∴这两个一次函数图象的交点在第一象限.8. C 【解析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定.由题意可知:(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =CB ,∠A =∠C ,DA =DC ,∴△ABD ≌△CBD (SAS );(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴AD ∥BC ,∴∠NDO =∠N ′BO ,又∵点O 是BD 的中点,∴BO =DO ,∵∠BON ′=∠DON ,∴△DON ≌△BON ′(ASA );(3)由(2)得ON =ON ′,同理可得∠MNO =∠M ′N ′O 和∠M ′ON ′=∠MON ,∴△MON ≌△M ′ON ′(ASA );(4)由(3)可得OM =OM ′,∵∠DOM =∠BOM ′,OB =OD ,∴△DOM ≌△BOM ′(SAS ).故图中的全等三角形共有4对.9. B 【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理及勾股定理.设∠BAC =α,则∠BOC =2∠BAC =2α,∵∠BAC +∠BOC =180°,∴α+2α=180°,α=60°,∴∠BOC =120°,如解图所示,过点O 作OD ⊥BC于点D ,则∠BOD =12∠BOC =60°,BD =CD ,∴∠OBD =90°-60°=30°,∵OB =4,∴OD =12OB =2,由勾股定理得:BD =OB 2-OD 2=23,∴BC =2BD =4 3.第9题解图10. D 【解析】本题考查了二次函数的图象与性质以及锐角三角函数的定义.如解图,令-x 2-2x +3=0,得x 1=-3,x 2=1,∴点A (-3,0),B (1,0),顶点C 的横坐标为x =-b 2a =--22×(-1)=-1,纵坐标为y =4ac -b 24a =4×(-1)×3-(-2)24×(-1)=4,∴点C 的坐标为(-1,4).过点C 作CD ⊥x 轴于点D ,则CD =4,OD =1, 又∵OA =3,∴AD =2,∴tan ∠CAB =CD AD =42=2.第10题解图11. x >6 【解析】本题考查了一元一次不等式的解法.将原不等式移项得-12x <-3,系数化为1得x >6. 12. 8 【解析】本题考查了正多边形的外角和. 由正多边形的每一个外角都是45°,其外角和为360°,可得这个正多边形的边数是360°45°=8. 13. y =6x【解析】根据题意画出图象如解图所示,过点C 作CD ⊥y 轴于点D ,分别令y =0,x =0,得x =-2,y =4,由题意知点A (-2,0),B (0,4),则OB =4,OA =2,∵CD ∥OA ,∴△CDB ∽△AOB ,∴CD AO=BD BO =BC BA ,∵AB =2BC ,∴BC AB =12,∴CD AO =12,BD BO =12,解得CD =1,BD =2,∴OD =6,∴点C 的坐标为(1,6),设反比例函数的表达式为y =k x ,∴6=k 1,解得k =6,∴反比例函数的表达式为y =6x.第13题解图14. 23-2 【解析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、两点之间最短距离问题以及分类讨论思想.如解图,连接AC 、BD ,交点为O ,则AC ⊥BD ,∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC =60°,∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形,∵AB =2,∴BO =AB ·sin ∠BAO =3,∴BD =2 3.(1)如解图①,当BP =BC 时,点P 在以点B 为圆心,2为半径的圆弧上,其中当点P 在BD 与圆弧的交点上时,PD 最短,此时PD =BD -BP =23-2;(2)如解图②,当PB =PC 时,点P 在BC 的垂直平分线上,此时PD 的最短距离为DA ,即PD =2;(3)如解图③,当CB =CP 时,点P 在以点C 为圆心,2为半径的圆弧上,由于点P 是在菱形内部或边上的一点,且点P 、D 不重合,∴PD 的最短距离为DA ,即PD =2.综上所述,P 、D 两点间的最短距离为23-2.第14题解图15. 解:原式=23-(3-1)+1………………………………(3分)=23-3+1+1………………………………………………(4分)=3+2.…………………………………………………………(5分)16. 解:原式=(x -5)(x +3)+16x +3÷x -1x 2-9……………………(1分) =x 2-2x +1x +3·x 2-9x -1……………………………………………………(2分) =(x -1)2x +3·(x +3)(x -3)x -1……………………………………(3分) =(x -1)(x -3)………………………………………………………(4分)=x 2-4x +3.…………………………………………………………(5分)17.解:如解图,直线AD 即为所求. ………………………………(5分)第17题解图【作法提示】①以点A 为圆心,AB 的长为半径作弧,交BC 于点E ;②分别以点B 、E 为圆心,以大于12BE 长为半径在直线BC 下方作弧,两弧交于点F ;③作直线AF 交BC 于点D ,则直线AD 即为所求.18. 解: (1)补全的条形统计图和扇形统计图如解图;………………………………………… (3分)第18题解图(2)比较喜欢(填“B”也正确);…………………………………………(4分)(3) 960×25%=240(人),∴七年级学生中对数学学习“不太喜欢”的约有240人.…………………………(5分) 19. 证明:如解图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∴∠1=∠2.…………………………………………(2分)又∵BF=DE,∴BF+BD=DE+BD.∴DF=BE.………………………………………………(4分)∴△ADF≌△CBE.…………………………………………(5分)∴∠AFD=∠CEB.∴AF∥CE.……………………………………………………(7分)第19题解图20. 解:如解图,第20题解图由题意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF.∴△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH.…………………………………………(3分)∴ABED=BCDC,ABGF=BFFH.即AB1.5=BC2,AB1.65=BC+16+22.5.……………………………………………………(5分)解得AB=99(米).……………………………………………………………………(7分) 21. 解:(1)设线段AB所表示的函数关系式为y=kx+b(k≠0),则根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧b =1922k +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-96b =192,………………………………………………………………(2分)∴线段AB 所表示的函数关系式为y =-96x +192(0≤x ≤2);………………(3分) (2)由题意可知,下午3点时,x =8,y =112. 设线段CD 所表示的函数关系式为 y =k′x +b ′(k ′≠0),则 根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧6.6k ′+b ′=08k ′+b ′=112, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′=80b ′=-528,∴线段CD 的函数关系式为y =80x -528.……………………………………(5分) ∴当y =192时,80x -528=192,解得x =9.……………………………………(6分) ∴他当天下午4点到家.…………………………………………………………(7分) 22. 解:(1)P (一次“随机有效转动”可获得“乐”字)=15.…………………………(2分)(2)由题意,列表如下:…………………………………………………………………………(5分)由表格可知,共有25种等可能的结果,获得一瓶可乐的结果共有两种:(可,乐),(乐,可). ∴P (该顾客获得一瓶可乐)=225.………………………………………………(7分) 23. 证明:(1)如解图,第23题解图∵EF ∥BC ,AB ⊥BG , ∴EF ⊥AD .又∵E 是AD 的中点, ∴F A =FD ,∴∠F AD =∠D .……………………………………(2分) 又∵GB ⊥AB ,∴∠GAB +∠G =∠D +∠1=90°. ∴∠1=∠G . 而∠1=∠2, ∴∠2=∠G.∴FC =FG .………………………………………………(4分) (2)如解图①,连接AC . ∵AB ⊥BG ,∴AC 是⊙O 的直径.………………………………………………(5分) 又∵FD 是⊙O 的切线,切点为C , ∴AC ⊥DF .∴∠1+∠4=90°. ………………………………………………(6分) 又∵∠3+∠4=90°, ∴∠1=∠3.而由(1)可知∠1=∠G . ∴∠3=∠G .∴△ABC ∽△GBA . ………………………………………………(7分) ∴AB GB =BCAB. 故AB 2=BC ·BG . ………………………………………………(8分)24. 解:(1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a +b +5=3,9a +3b +5=5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =-3,∴抛物线的表达式为y =x 2-3x +5. ………………………………………………(2分) 对于方程x 2-3x +5=0,∵b 2-4ac =(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0,∴抛物线与x 轴无交点.………………………………………………(3分) (2)如解图,∵△AOB 是等腰直角三角形,点A 坐标为(-2,0),点B 在y 轴上, ∴点B 的坐标为B 1(0,2)或B 2(0,-2).………………………………………………(5分) 设平移后的抛物线的表达式为y =x 2+mx +n . ①当抛物线经过点A (-2,0),B 1(0,2)时,⎩⎪⎨⎪⎧n =24-2m +n =0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧m =3n =2,∴平移后的抛物线y =x 2+3x +2. ………………………………………………(7分) ∴该抛物线顶点坐标为(-32,-14).而原抛物线顶点坐标为(32,114),∴将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线.……………(8分)②当抛物线过点A (-2,0),B 2(0,-2)时,⎩⎪⎨⎪⎧n =-24-2m +n =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =1n =-2,∴平移后的抛物线为y =x 2+x -2. ………………………………………………(9分) ∴该抛物线顶点坐标为(-12,-94).而原抛物线顶点坐标为(32,114),∴将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.……………(10分)第24题解图25. (1)【思维教练】要作对称图形,先要考虑对称的性质,即对应点关于对称轴对称,只需作出点B关于直线AC的对称点D,连接AD,CD即可.解:如解图①,△ADC即为所求作三角形;………………………………………………(2分)第25题解图①(2)【思维教练】四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE,由题意可知AF和AE的长均为定值,利用勾股定理可求得EF的长也为定值,∴要求四边形周长的最小值,只需求FG+GH+HE最小即可,作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解,进而利用三角形三边关系求出线段和最小值时各顶点的位置,再由勾股定理及对称的性质即可求解.解:存在.理由如下:如解图②,作点E关于CD的对称点E′,作点F关于BC的对称点F′,连接E′F′,交BC于点G,交CD于点H,连接FG、EH,则F′G=FG,E′H=EH,∴此时四边形EFGH的周长最小.∵在BC上任取一点G′,在CD上任取一点H′,则FG′+G′H′+H′E=F′G′+G′H′+H′E′≥E′F′.………(4分)第25题解图②由题意得:BF′=BF=AF=2,DE′=DE=2,∠A=90°,∴AF′=6,AE′=8.∴E′F′=10,EF=2 5.………………………………………………(6分)∴四边形EFGH周长的最小值为EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=25+10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H,使四边形EFGH的周长最小,最小值是25+10. …(7分) (3)【思维教练】要求四边形EFGH面积最大,∵E、F、G的位置确定,即△EFG的面积是固定的,即求以EG为底边的△EGH最大面积,且∠EHG为45°,作△EFG关于EG的对称图形,以点F的对称点为圆心,作以EG为弦的圆,根据圆的基本性质,即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H,然后再由对称的性质和勾股定理求解即可.解:能裁得.………………………………………………(8分)理由如下:∵EF=FG=5,∠EFG=90°,∠A=∠B=90°,∠1=∠2,∴△AEF≌△BFG.∴AF =BG ,AE =BF . 设AF =x ,则AE =BF =3-x . ∴x 2+(3-x )2=(5)2 解得x =1或x =2(舍去).∴AF =BG =1,BF =AE =2. ………………………………………………(9分) ∴DE =4,CG =5.如解图③,连接EG ,作△EFG 关于EG 的对称△EOG ,则四边形EFGO 为正方形,∠EOG =90°.第25题解图③以点O 为圆心,以OE 长为半径作⊙O ,则∠EHG =45°的点H 在矩形ABCD 内⊙O 的圆弧上. 连接FO ,并延长交⊙O 于点H′,则点H′在EG 中垂线上. 连接EH ′、GH ′,则∠EH ′G =45°.此时,四边形EFGH ′是想要裁得的四边形EFGH 中面积最大的. 连接CE ,∵CG =DE 2+CD 2=5,CE =5, ∴CE =CG =5.∴点C 在线段EG 的中垂线上. ∴点F 、O 、H′、C 在一条直线上. 又∵EG =EF 2+FG 2=10, ∴FO =EG =10.又∵CF =BF 2+BC 2=210. ∴OC =10.又∵OH′=OE =FG =5, ∴OH ′<OC .∴点H ′在矩形ABCD 的内部.(11分)∴可以在矩形板材ABCD 中,裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH ′部件,这个部件的面积=12EG·FH′=12×10×(10+5)=5+522(m 2). ∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH ′时,裁得了符合条件的最大部件,这个部件的面积为5+522m 2. ………………………………………………(12分)。

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